Enligt randvinkelsatsen (periferivinkelsatsen) är medelpunktsvinkeln till en cirkelbåge dubbelt så stor som en randvinkel till samma båge.
Medelpunktsvinkeln är vinkeln i cirkelns medelpunkt mellan radierna till två punkter på cirkelns periferi (en kordas båda ändpunkter).
En randvinkel (även periferivinkel eller bågvinkel) bildas av ändpunkterna till en given cirkelbåge eller korda och av en punkt på cirkelns rand som inte tillhör den givna cirkelbågen.
Allmänt gäller för två linjer som skär varandra i det inre, eller på randen, av en cirkel med diametern d, att de bildar vinkeln (se figur 2)
θ
=
b
d
=
b
1
+
b
2
d
{\displaystyle \theta ={\frac {b}{d}}={\frac {b_{1}+b_{2}}{d}}}
där b är den sammanlagda längden av de bågar som linjerna skär av i de områden där vinkeln mäts. Av detta följer randvinkelsatsen som ett specialfall, då linjer vars skärningspunkt ligger på randen skär av en båge medan linjer som skär varandra i medelpunkten skär av två bågar. Om bågarna antas vara lika långa följer att randvinkeln är hälften så stor som medelpunktsvinkeln.
En viktig följd är att alla randvinklar som spänner över samma korda, och på samma sida om denna, är likstora. Två randvinklar, en på vardera sidan om en korda har summan 180°.Korda-tangentsatsen säger att vinkeln mellan en korda och tangenten till cirkeln i endera av kordans ändpunkter är lika med randvinkeln på den motatta sidan om kordan.Ett viktigt specialfall av randvinkelsatsen är då medelpunktsvinkeln är en rak vinkel (180°), varvid randvinkeln, som ju då spänner över en diameter, är en rät vinkel. Denna följdsats kallas Thales sats och innebär att en rätvinklig triangels omskrivna cirkels medelpunkt sammanfaller med hypotenusans mittpunkt eftersom hypotenusan är en diameter i den omskrivna cirkeln. Diogenes Laertios skriver att enligt Pamphila offrade Thales en oxe när han gjorde denna upptäckt (och tillägger att andra, bland dem Apollodorus, säger detsamma om Pythagoras).Ett vanligt bevis för randvinkelsatsen är en tillämpning av Euklides första kongruensfall och yttervinkelsatsen, i vilken parallellaxiomet spelar en avgörande roll.
