Una variedad es el objeto geométrico estándar en matemática que generaliza la noción intuitiva de curva (1-variedad) y de superficie (2-variedad) a cualquier dimensión y sobre cuerpos diversos ( no necesariamente el de los reales).
Un poco más formalmente, podemos decir que una variedad de dimensión n es un espacio que se parece localmente a
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
. Esto nos hace pensar que una variedad está compuesta de parches n-dimensionales y que donde los parches se traslapan están pegados topológicamente (ver variedad diferenciable).
Una variedad se llama cerrada si no tiene borde y es compacta.
Un campo de investigación muy activo es el estudio de las 3-variedades, que pertenece al área de la topología de dimensiones bajas.
Introducción
Los mapas (o cartas)
Cuando nos desplazamos por la esfera terrestre nos orientamos utilizando mapas planos reunidos en un atlas. En el límite de cada mapa figura la información necesaria para "pegar" mentalmente el mapa siguiente. Para poder hacerlo, es necesaria una cierta redundancia en la información : así, tanto el mapa de Europa como el de Asia pueden contener Moscú. De un modo similar, en matemáticas es posible describir una variedad utilizando una colección de mapas o cartas reunidos en un atlas e indicando cómo pasar de un mapa a otro. El globo terrestre es un ejemplo típico de variedad, pues puede ser representado por una colección de mapas geográficos.
