Una superficie es de hecho un conjunto de puntos de un espacio euclídeo que forma un espacio topológico bidimensional que localmente, es decir, visto de cerca se parece al espacio euclídeo bidimensional. Así alrededor de cada punto de una superficie esta se aproxima lo suficiente por el plano tangente a la superficie en dicho punto.
Una definición tradicional de superficie que alude a términos intuitivos pero con la que resulta fácil trabajar desde un punto de vista matemático fue la dada por Euclides:
Definiciones formales
Una superficie es una variedad bidimensional, es decir, un objeto topológico que localmente "se parece" al plano euclídeo
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
(localmente homeomorfo al plano). Eso significa que si tomamos un área muy pequeña de la superficie es parecida al plano euclídeo.
Más formalmente el homeomorfismo local entre una superficie y el plano euclídeo implica que para cada punto de una superficie hay una vecindad de P (una pequeña región que la rodea) que es homeomorfa a un disco abierto de
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
. Esta propiedad de ser homeomorfa con el plano permite construir un sistema de coordenadas local bidimensional en torno a cualquier punto en la superficie. Se puede llamar al homeomorfismo local que va de la superficie a
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
como carta y al inverso ( de este homeomorfismo) parametrización. No siempre es posible parametrizar una superficie con un único homeomorfismo local.
Una superficie (topológica) con frontera es un espacio topológico de tipo Hausdorff en que cada punto tiene una vecindad abierta V para la que existe un homeomorfismo φ con un conjunto abierto del semiplano superior del plano euclídeo
E
2
{\displaystyle \mathbf {E} ^{2}}
. El par ordenado (V, φ) se llama carta ( local ) de coordenadas del punto [esta carta no es única porque para cada punto existen de hecho muchas posibles elecciones de coordenadas].
