Mandelbrotova množina - online puzzle

Online puzzle Mandelbrotova množina

Mandelbrotova množina

Mandelbrotova množina je množina bodů komplexní roviny, které jsou odvozeny od rekurzivních procesů s komplexními čísly patřícími této množině a jejímu okolí. Mandelbrotova množina je jeden z nejznámějších fraktálů, přesněji řečeno fraktálem je její okraj. K jejímu určení se používá zobrazení, které každému komplexnímu číslu

c

c

přiřazuje určitou posloupnost komplexních čísel

z

n

z_{n}

. Tato posloupnost je určena následujícím rekurzivním předpisem:

z

0

=

0

,

z

n

+

1

=

z

n

2

+

c

z_{0}=0,\quad z_{n+1}=z_{n}^{2}+c

.Mandelbrotova množina je pak definována jako množina komplexních čísel

c

c

, pro která je posloupnost

z

0

,

z

1

,

z

2

,

…

z_{0},z_{1},z_{2},\dots

omezená, tj. splňuje následující podmínku:

Existuje reálné číslo

m

m

takové, že pro všechna

n

n

je

|

z

n

|

≤

m

|z_{n}|\leq m

.Lze dokázat, že překročí-li absolutní hodnota některého členu posloupnosti

z

n

z_{n}

hodnotu 2, pak tato posloupnost není omezená (jde do nekonečna). Odtud je zřejmé, že lze ve výše uvedené definici položit

m

=

2

m=2

, aniž by tím došlo ke změně jejího významu.