Множество на Манделброт - онлайн пъзели
Онлайн пъзел Множество на Манделброт
Множество на Манделброт
Множеството на Манделброт е множество от комплексни числа
c
{\displaystyle c}
, за което функцията
f
c
(
z
)
=
z
2
+
c
{\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}
не е разходяща при итерация с
z
=
0
{\displaystyle z=0}
, тоест за която редицата
f
c
(
0
)
{\displaystyle f_{c}(0)}
,
f
c
(
f
c
(
0
)
)
{\displaystyle f_{c}(f_{c}(0))}
остава ограничена по абсолютна стойност. Кръстена е в чест на математика Беноа Манделброт. Множеството има връзка с множеството на Жулиа, тъй като и двете множества образуват сложни фрактални фигури.
Изображения на множеството на Манделброт могат да се създадат чрез тестване на комплексни числа дали редицата
f
c
(
0
)
,
f
c
(
f
c
(
0
)
)
,
…
{\displaystyle f_{c}(0),f_{c}(f_{c}(0)),\dotsc }
за всяка точка
c
{\displaystyle c}
е разходяща до безкрайност. Нанасянето на реалната и имагинерната част на
c
{\displaystyle c}
като координати върху комплексната равнина позволява да се оцветят пикселите според това колко бързо редицата
|
f
c
(
0
)
|
,
|
f
c
(
f
c
(
0
)
)
|
,
…
{\displaystyle |f_{c}(0)|,|f_{c}(f_{c}(0))|,\dotsc }
преминава даден произволно избран праг с определен цвят (обикновено черен) за стойностите на
c
{\displaystyle c}
, за които редицата не преминава въпросния праг след предварително зададен брой итерации. Оцветяването на останалите точки, непринадлежащи на множеството, се определя от степента, с която получената от тях редица достига определена граница, отвъд която няма елементи на множеството. Ако
c
{\displaystyle c}
се поддържа константа, а първоначалната стойност на
z
{\displaystyle z}
(
z
0
{\displaystyle z_{0}}
) стане променлива, се получава съответното множество на Жулиа за всяка точка
c
{\displaystyle c}
на функцията.
Изображенията на множеството на Манделброт показват подробна и безкрайно сложна граница, която разкрива прогресивно по-фини рекурсивни детайли при увеличаване. Стилът на повтарящите се детайли зависи от областта на множеството, която се изследва. Границата на множеството, също така, включва по-малки варианти на главната форма, така че фракталното свойство на самоподобието важи за цялото множество, а не само за частите му.
Точната площ на множеството на Манделброт не е известна. Към 2012 г. тя е изчислена на приблизително 1,506 591 884 9 ± 2,8×10−9. Точната координата на центъра на масите също не е известна и е оценена на −0,286 768 420 48 ± 3,35×10−9. Увеличените изображения на множеството показват, че той има безкрайна дълбочина.Множеството на Манделброт е популярно и извън областта на математиката, както поради естетическата си привлекателност, така и като пример за сложна структура, появяваща се от прилагането на прости правила.