Στα μαθηματικά, μια ακολουθία είναι μια διατεταγμένη λίστα αντικειμένων. Μια ακολουθία έχει όρους και το πλήθος των όρων της (που ενδέχεται να είναι και άπειρο) ονομάζεται μήκος της ακολουθίας. Σε αντίθεση με τα σύνολα σε μια ακολουθία έχει σημασία η διάταξη των αντικειμένων της (πρώτος όρος, δεύτερος, τρίτος και ούτω καθ' εξής). Επιπλέον δεν υπάρχει περιορισμός όσον αφορά το πόσες φορές μπορεί να εμφανίζεται ένα αντικείμενο μιας ακολουθίας (σε αντίθεση και πάλι με τα σύνολα όπου ένα αντικείμενο μπορεί να εμφανίζεται το πολύ μια φορά).
Οι ακολουθίες διακρίνονται ως προς το πλήθος των όρων τους, στις άπειρες ακολουθίες και στις πεπερασμένες. Σχεδόν αποκλειστικά, στην μαθηματική ανάλυση ενδιαφέρον έχουν οι πρώτες.
Αυστηρός Ορισμός
Ονομάζουμε ακολουθία ή πιο συγκεκριμένα άπειρη ακολουθία οποιαδήποτε συνάρτηση α από το σύνολο των φυσικών
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
σε ένα σύνολο Α, δηλαδή κάθε συνάρτηση της μορφής:
a
:
N
→
A
{\displaystyle a:\mathbb {N} \rightarrow A}
Συνηθίζεται να συμβολίζουμε την τιμή μιας ακολουθίας, για κάθε στοιχείο
k
∈
N
{\displaystyle k\in \mathbb {N} }
ως
a
k
{\displaystyle a_{k}}
, αντί του
a
(
k
)
{\displaystyle a(k)}
, όπως συνηθίζεται γενικά για τις συναρτήσεις. Αν το σύνολο
A
{\displaystyle A}
είναι ίσο με το σύνολο των πραγματικών αριθμών τότε η ακολουθία ονομάζεται πραγματική ακολουθία.
Ονομάζουμε πεπερασμένη ακολουθία ή λίστα
n
{\displaystyle n}
στοιχείων οποιαδήποτε συνάρτηση
a
{\displaystyle a}
από το σύνολο
{
1
,
2
,
⋯
,
n
}
{\displaystyle \lbrace 1,2,\cdots,n\rbrace }
σε ένα σύνολο
A
{\displaystyle A}
, δηλαδή κάθε συνάρτηση της μορφής:
a
:
{
1
,
2
,
⋯
,
n
}
→
A
{\displaystyle a:\lbrace 1,2,\cdots,n\rbrace \rightarrow A}
.Όλες οι ακολουθίες ως συναρτήσεις είναι σύνολα διατεταγμένων ζευγών. Παρόλα αυτά μια πεπερασμένη ακολουθία μπορούμε να την αντιμετωπίζουμε ως διατεταγμένη n-άδα για ευκολία και επομένως μπορούμε να τη συμβολίσουμε με
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
)
{\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots,a_{n})}
.
