Grătarul în sens algebric este o structură algebrică
(
A
.
∧
.
∨
)
.
{\ displaystyle (A, \ land, \ lor),}
unde
A
{\ displaystyle A}
este un set (care nu este gol), a
∧
{\ displaystyle \ land}
și
∨
{\ displaystyle \ lor}
sunt mapări ale
A
×
A
{\ displaystyle A \ times A}
în
A
{\ displaystyle A}
satisfăcător pentru oricine
x
.
s
.
din
∈
A
{\ displaystyle x, y, z \ in A}
urmatoarele conditii:
Un exemplu de grilă este orice algebră booleană.
În fiecare grilă, echivalența este îndeplinită:
x
∨
s
=
s
⇔
x
∧
s
=
x
.
{\ displaystyle x \ lor y = y \ Leftrightarrow x \ land y = x.}
poveste
⩽
.
{\ displaystyle \ leqslant,}
definit prin echivalență
x
⩽
s
⇔
x
∨
s
=
s
{\ displaystyle x \ leqslant y \ Leftrightarrow x \ lor y = y}
este o ordine parțială în care fiecare pereche
x
.
s
{\ displaystyle x, y}
are limite superioare și inferioare:
sorbi
(
x
.
s
)
=
x
∨
s
.
inf
(
x
.
s
)
=
x
∧
s
.
{\ displaystyle \ sup (x, y) = x \ vee y, \ quad \ inf (x, y) = x \ wedge y.}
Axiomul 1 este dat în mod tradițional în definiția rețelei, dar rezultă din axioma 4:
lăsa
X
: =
x
∨
s
.
{\ displaystyle X: = x \ lor y.}
Apoi, sub partea stângă a Axiomului 4, primim
(
X
∧
s
)
∨
s
=
s
{\ displaystyle (X \ land y) \ lor y = y}
și în virtutea dreptului:
X
∧
s
=
s
{\ displaystyle X \ land y = y}
care după substituirea formulei anterioare dă:
s
∨
s
=
s
.
{\ displaystyle y \ lor y = y.}
În mod similar dovedește asta
s
∧
s
=
s
.
{\ displaystyle y \ land y = y.}
Rețeaua în sensul comenzilor parțiale este o comandă parțială (necompletată)
(
A
.
⩽
)
.
{\ displaystyle (A, \ leqslant),}
în care fiecare pereche
x
.
s
{\ displaystyle x, y}
are o limită inferioară
inf
(
x
.
s
)
{\ displaystyle \ inf (x, y)}
iar limita superioară
sorbi
(
x
.
s
)
.
{\ displaystyle \ sup (x, y).}
Dacă definim
x
∨
s
: =
sorbi
(
x
.
s
)
.
{\ displaystyle x \ lor y: = \ sup (x, y),}
x
∧
s
: =
inf
(
x
.
s
)
.
{\ displaystyle x \ land y: = \ inf (x, y),}
atunci vom primi un grătar în sensul algebric, în care desigur
x
⩽
s
⇔
x
∨
s
=
s
.
