Triangoli simili: due triangoli i cui rispettivi lati sono coppie proporzionali, ovvero quando è possibile scegliere i segni per i vertici rispettivamente nel primo e nel secondo triangolo: A, B, C {\ displaystyle A, B, C} e A ′, B ′, C ′ {\ Displaystyle A ', B', C '} in modo che A ′ B ′ AB = B ′ C ′ BC = C ′ A ′ CA = s, {\ displaystyle {\ frac {A'B'} {AB }} = {\ frac {B'C '} {BC}} = {\ frac {C'A'} {CA}} = s,} dove s {\ displaystyle s} è certo (s ≠ 0) {\ displaystyle (s \ neq 0)} un numero chiamato scala di somiglianza del triangolo Δ A ′ B ′ C ′ {\ displaystyle \ Delta A'B'C '} rispetto a Δ ABC. {\ displaystyle \ Delta ABC.} Questo è un caso speciale della somiglianza di due figure. Scriviamo simbolicamente la somiglianza dei triangoli con nomi di vertici fissi Δ A ′ B ′ C ′ ∼ ∼ ABC {\ displaystyle \ Delta A'B'C '\ sim \ Delta ABC} e leggiamo che Δ A ′ B ′ C ′ {\ displaystyle \ Delta A'B'C '} è simile a Δ ABC. {\ displaystyle \ Delta ABC.} Naturalmente, la somiglianza dei triangoli definiti in questo modo è la relazione tra due figure indipendenti dal metodo e dall'ordine di determinazione dei loro vertici. Quindi se Δ A ′ B ′ C ′ ∼ Δ ABC, {\ displaystyle \ Delta A'B'C '\ sim \ Delta ABC,} allora anche ad es. Δ B ′ A ′ C ′ ∼ Δ ACB {\ displaystyle \ Delta B'A'C '\ sim \ Delta ACB} e Δ C ′ B ′ A ′ ∼ Δ BCA. {\ displaystyle \ Delta C'B'A '\ sim \ Delta BCA.} Ciò significa che nell'iscrizione Δ A ′ B ′ C ′ {\ displaystyle \ Delta A'B'C'} la disposizione delle lettere A ′ B ′ C ′ {\ Displaystyle A'B'C '} è convenientemente inteso come un insieme di vertici e non una sequenza ordinata di vertici. Nell'approccio della teoria di Klein sugli invarianti di un gruppo di somiglianze, il problema (apparentemente) è semplificato, perché si ipotizza l'esistenza di una certa somiglianza (cioè la funzione) che trasferisce un triangolo all'altro e i vertici di entrambi i triangoli non devono essere contrassegnati. La relazione di somiglianza in un insieme di triangoli è l'equivalenza.
