Curva - puzzle online
In matematica, una curva è un oggetto unidimensionale e continuo, come ad esempio la circonferenza e la retta. Una curva può giacere su un piano, nello spazio euclideo, o in uno spazio topologico più generale.
Una curva può essere pensata intuitivamente come la traiettoria descritta da un oggetto (puntiforme) che si muove con continuità in qualche spazio ; non dovrebbe sorprendere quindi il fatto che per "catturare" nel linguaggio matematico quest' idea si faccia ricorso alle nozioni di funzione continua e funzione differenziabile.
Definizioni
In topologia, una curva è una funzione continua
f
:
I
→
X
{\displaystyle f:I\rightarrow X}
dove
I
{\displaystyle I}
è un intervallo della retta reale e
X
{\displaystyle X}
è un qualsiasi spazio topologico.
Ad esempio,
X
{\displaystyle X}
può essere il piano cartesiano
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
o lo spazio
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
. L'intervallo
I
{\displaystyle I}
può essere ad esempio un intervallo chiuso
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
, un intervallo aperto
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
, una semiretta
[
a
,
+
∞
)
{\displaystyle [a,+\infty )}
, ecc.
Sostegno della curva
L' immagine di una curva viene anche chiamato sostegno della curva. Spesso con un piccolo abuso di linguaggio si indica con la parola "curva" il sostegno e non la funzione. Ad esempio, la circonferenza è il sostegno della curva
f
:
[
0
,
1
]
→
R
2
{\displaystyle f:[0,1]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}
f
(
t
)
=
e
2
π
i
t
=
(
cos
(
2
π
t
)
,
sin
(
2
π
t
)
)
{\displaystyle f(t)=e^{2\pi it}=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))}
In topologia, quando l'intervallo di partenza
I
{\displaystyle I}
è quello unitario
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
si usa spesso uno dei termini equivalenti cammino o arco.
Curva semplice e curva chiusa
Una curva iniettiva è detta curva semplice o arco di Jordan.
