m
{\displaystyle m}
che compare nella sua equazione, scritta nella forma :
y
=
m
x
+
q
{\displaystyle y=mx+q\;}
.Partendo dai coefficienti dell' equazione generale
a
x
+
b
y
+
c
=
0
{\displaystyle ax+by+c=0}
,con
b
≠
0
{\displaystyle b\neq 0}
(retta non verticale), il coefficiente angolare è espresso dal rapporto
m
=
−
a
b
{\displaystyle m=-{\frac {a}{b}}}
.Due rette (non verticali) sono parallele esattamente quando hanno lo stesso coefficiente angolare; in particolare, il coefficiente angolare della retta passante per l'origine,
y
=
m
x
{\displaystyle y=mx}
è la tangente degli angoli formati dalla retta con l'asse delle ascisse: la retta infatti passa per il punto di coordinate
(
x
1
,
y
1
)
=
(
cos
(
α
)
,
sin
(
α
)
)
{\displaystyle (x_{1},y_{1})=(\cos(\alpha ),\sin(\alpha ))}
, quindi
m
=
y
1
x
1
=
sin
(
α
)
cos
(
α
)
=
tan
(
α
)
{\displaystyle m={\frac {y_{1}}{x_{1}}}={\frac {\sin(\alpha )}{\cos(\alpha )}}=\tan(\alpha )}
.Il coefficiente angolare di una retta (non verticale) è il rapporto tra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse fra due punti distinti della retta,
(
x
1
,
y
1
)
{\displaystyle (x_{1},y_{1})}
e
(
x
2
,
y
2
)
{\displaystyle (x_{2},y_{2})}
:
{
y
1
=
m
x
1
+
q
y
2
=
m
x
2
+
q
⇒
q
=
y
1
−
m
x
1
=
y
2
−
m
x
2
⇒
m
(
x
1
−
x
2
)
=
(
y
1
−
y
2
)
⇒
m
=
y
2
−
y
1
x
2
−
x
1
=
Δ
y
Δ
x
{\displaystyle {\begin{cases}y_{1}=mx_{1}+q\\y_{2}=mx_{2}+q\end{cases}}\Rightarrow q=y_{1}-mx_{1}=y_{2}-mx_{2}\Rightarrow m(x_{1}-x_{2})=(y_{1}-y_{2})\Rightarrow m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}}
Per una retta verticale, di equazione
x
=
x
0
{\displaystyle x=x_{0}}
, questa espressione è priva di significato: due distinti punti della retta hanno diverse coordinate
y
{\displaystyle y}
ma uguali coordinate
x
{\displaystyle x}
, quindi per calcolare il rapporto bisognerebbe dividere per zero (al contrario, in geometria proiettiva il simbolo
(
1
:
0
)
{\displaystyle (1:0)}
è ben definito).
Considerando la retta come grafico di una funzione
f
(
x
)
=
m
x
+
q
{\displaystyle f(x)=mx+q}
, il suo coefficiente angolare è la derivata della funzione:
f
′
(
x
)
=
m
{\displaystyle f'(x)=m}
. (La retta tangente è la retta stessa.)
Poiché due rette in forma generale,
a
x
+
b
y
+
c
=
0
{\displaystyle ax+by+c=0}
e
a
′
x
+
b
′
y
+
c
′
=
0
{\displaystyle a'x+b'y+c'=0}
, sono perpendicolari esattamente quando
a
a
′
+
b
b
′
=
0
{\displaystyle aa'+bb'=0}
, ne segue che due rette (non verticali)
y
=
m
x
+
q
{\displaystyle y=mx+q}
e
y
=
m
′
x
+
q
′
{\displaystyle y=m'x+q'}
sono perpendicolari esattamente quando il prodotto dei loro coefficienti angolari è
m
m
′
=
−
1
{\displaystyle mm'=-1}
.Questa condizione può essere riscritta come
m
′
=
−
1
m
{\displaystyle m'=-{\frac {1}{m}}}
, ed espressa dicendo che
m
′
{\displaystyle m'}
è l'antireciproco (opposto del reciproco) di
m
{\displaystyle m}
.
