Hasonló háromszögek - két háromszög, amelyeknek oldalai arányos párok, azaz amikor kiválaszthatja az első és a második háromszög csúcsának jelöléseit: A, B, C {\ displaystyle A, B, C} és A ′, B ′, C ′ {\ Displaystyle A ', B', C '} úgy, hogy A' B 'AB = B' C 'BC = C' A 'CA = s, {\ displaystyle {\ frac {A'B'} {AB }} = {\ frac {B'C '} {BC}} = {\ frac {C'A'} {CA}} = s,} ahol az s {\ displaystyle s} biztos (s ≠ 0) {\ displaystyle (s \ neq 0)} egy szám, amelyet úgy nevezünk, hogy Δ A ′ B ′ C ′ {\ displaystyle \ Delta A'B'C 'háromszög hasonlósági skála Δ ABC-hez viszonyítva. {\ displaystyle \ Delta ABC.} Ez a két ábra hasonlóságának különleges esete. Szimbolikusan felírjuk a rögzített csúcsnévvel rendelkező háromszögek hasonlóságát Δ A ′ B ′ C ′ ∼ ∼ ABC {\ displaystyle \ Delta A'B'C '\ sim \ Delta ABC} és elolvassuk, hogy Δ A ′ B ′ C ′ {\ displaystyle \ Az A'B'C '} delta hasonló az Δ ABC-hez. {\ displaystyle \ Delta ABC.} Természetesen az így meghatározott háromszögek hasonlósága a két ábra közötti kapcsolat, függetlenül a csúcsok meghatározásának módszerétől és sorrendjétől. Tehát ha Δ A ′ B ′ C ′ ∼ ABC, {\ displaystyle \ Delta A'B'C '\ sim \ Delta ABC,} akkor akkor is, például Δ B ′ A ′ C ′ ∼ ACB {\ displaystyle \ Delta B'A'C '\ sim \ Delta ACB} és Δ C ′ B ′ A ′ ∼ Δ BCA. {\ displaystyle \ Delta C'B'A '\ sim \ Delta BCA.} Ez azt jelenti, hogy az Δ A ′ B ′ C ′ {\ displaystyle \ Delta A'B'C ”feliratban az A ′ B ′ C betűk elrendezése ′ {\ Displaystyle A'B'C '} érthetően csúcskészletként értendő, nem pedig csúcsok rendezett sorozataként. Klein elmélete szerint a hasonlóságok egy csoportjának invariánsait a probléma (látszólag) leegyszerűsíti, mivel feltételezhető, hogy létezik egy bizonyos hasonlóság (azaz függvény), amely az egyik háromszöget átteszi a másikba, és mindkét háromszög csúcsait nem kell megjelölni. A hasonlóság viszonya egy háromszög sorozatban ekvivalencia.
