Το πλέγμα με την αλγεβρική έννοια είναι μια αλγεβρική δομή
(
Ένα
.
∧
.
∨
)
.
{\ displaystyle (A, \ land, \ lor),}
όπου
Ένα
{\ displaystyle A}
είναι ένα (μη κενό) σετ, a
∧
{\ displaystyle \ land}
και
∨
{\ displaystyle \ lor}
είναι χαρτογραφήσεις του
Ένα
×
Ένα
{\ displaystyle A \ φορές A}
σε
Ένα
{\ displaystyle A}
ικανοποιητικό για όλους
x
.
s
.
από
∈
Ένα
{\ displaystyle x, y, z \ in A}
οι ακόλουθες προϋποθέσεις:
Ένα παράδειγμα μάσκας είναι οποιαδήποτε άλγεβρα Boolean.
Σε κάθε μάσκα πληρούται η ισοδυναμία:
x
∨
s
=
s
⇔
x
∧
s
=
x
.
{\ displaystyle x \ lor y = y \ Leftrightarrow x \ land y = x.}
ιστορία
⩽
.
{\ displaystyle \ leqslant,}
ορίζεται από την ισοδυναμία
x
⩽
s
⇔
x
∨
s
=
s
{\ displaystyle x \ leqslant y \ Leftrightarrow x \ lor y = y}
είναι μια μερική σειρά στην οποία κάθε ζεύγος
x
.
s
{\ displaystyle x, y}
έχει άνω και κάτω όρια:
sup
(
x
.
s
)
=
x
∨
s
.
inf
(
x
.
s
)
=
x
∧
s
.
{\ displaystyle \ sup (x, y) = x \ vee y, \ quad \ inf (x, y) = x \ σφήνα y.}
Το Axiom 1 αναφέρεται παραδοσιακά στον ορισμό του πλέγματος, αλλά προκύπτει από το αξίωμα 4
ας
X
: =
x
∨
s
.
{\ displaystyle X: = x \ ή y.}
Στη συνέχεια, κάτω από το αριστερό μέρος του Axiom 4, λαμβάνουμε
(
X
∧
s
)
∨
s
=
s
{\ displaystyle (X \ land y) \ lor y = y}
και δυνάμει του δικαιώματος:
X
∧
s
=
s
{\ displaystyle X \ land y = y}
που μετά την αντικατάσταση με τον προηγούμενο τύπο δίνει:
s
∨
s
=
s
.
{\ displaystyle y \ lor y = y}}
Ομοίως αποδεικνύεται ότι
s
∧
s
=
s
.
{\ displaystyle y \ land y = y.}
Το πλέγμα με την έννοια των μερικών παραγγελιών είναι (μη κενό) μερική σειρά
(
Ένα
.
⩽
)
.
{\ displaystyle (A, \ leqslant),}
στο οποίο κάθε ζευγάρι
x
.
s
{\ displaystyle x, y}
έχει χαμηλότερο όριο
inf
(
x
.
s
)
{\ displaystyle \ inf (x, y)}
και άνω άκρο
sup
(
x
.
s
)
.
{\ displaystyle \ sup (x, y).}
Εάν ορίσουμε
x
∨
s
: =
sup
(
x
.
s
)
.
{\ displaystyle x \ lor y: = \ sup (x, y),}
x
∧
s
: =
inf
(
x
.
s
)
.
{\ displaystyle x \ land y: = \ inf (x, y),}
τότε θα πάρουμε μια σχάρα με την αλγεβρική έννοια, στην οποία φυσικά
x
⩽
s
⇔
x
∨
s
=
s
.
