γρίλια - online παζλ

Πλέγματα - μαθηματικές δομές που μπορούν να περιγραφούν είτε αλγεβρικά είτε με την έννοια μερικών παραγγελιών.

Αλγεβρική δομή

Το πλέγμα με την αλγεβρική έννοια είναι μια αλγεβρική δομή

        (

        Ένα

        .

        ∧

        .

        ∨

        )

        .

    {\ displaystyle (A, \ land, \ lor),}

   όπου

        Ένα

    {\ displaystyle A}

   είναι ένα (μη κενό) σετ, a

        ∧

    {\ displaystyle \ land}

   και

        ∨

    {\ displaystyle \ lor}

   είναι χαρτογραφήσεις του

        Ένα

        ×

        Ένα

    {\ displaystyle A \ φορές A}

   σε

        Ένα

    {\ displaystyle A}

   ικανοποιητικό για όλους

        x

        .

        s

        .

        από

        ∈

        Ένα

    {\ displaystyle x, y, z \ in A}

   οι ακόλουθες προϋποθέσεις:

Ένα παράδειγμα μάσκας είναι οποιαδήποτε άλγεβρα Boolean.

Σε κάθε μάσκα πληρούται η ισοδυναμία:

        x

        ∨

        s

        =

        s

        ⇔

        x

        ∧

        s

        =

        x

        .

    {\ displaystyle x \ lor y = y \ Leftrightarrow x \ land y = x.}

   ιστορία

        ⩽

        .

    {\ displaystyle \ leqslant,}

   ορίζεται από την ισοδυναμία

        x

        ⩽

        s

        ⇔

        x

        ∨

        s

        =

        s

    {\ displaystyle x \ leqslant y \ Leftrightarrow x \ lor y = y}

  είναι μια μερική σειρά στην οποία κάθε ζεύγος

        x

        .

        s

    {\ displaystyle x, y}

   έχει άνω και κάτω όρια:

        sup

        (

        x

        .

        s

        )

        =

        x

        ∨

        s

        .

        inf

        (

        x

        .

        s

        )

        =

        x

        ∧

        s

        .

    {\ displaystyle \ sup (x, y) = x \ vee y, \ quad \ inf (x, y) = x \ σφήνα y.}

Το αξίωμα 1 δεν είναι απαραίτητο

Το Axiom 1 αναφέρεται παραδοσιακά στον ορισμό του πλέγματος, αλλά προκύπτει από το αξίωμα 4

ας

        X

        : =

        x

        ∨

        s

        .

    {\ displaystyle X: = x \ ή y.}

   Στη συνέχεια, κάτω από το αριστερό μέρος του Axiom 4, λαμβάνουμε

        (

        X

        ∧

        s

        )

        ∨

        s

        =

        s

    {\ displaystyle (X \ land y) \ lor y = y}

  και δυνάμει του δικαιώματος:

        X

        ∧

        s

        =

        s

    {\ displaystyle X \ land y = y}

  που μετά την αντικατάσταση με τον προηγούμενο τύπο δίνει:

        s

        ∨

        s

        =

        s

        .

    {\ displaystyle y \ lor y = y}}

  Ομοίως αποδεικνύεται ότι

        s

        ∧

        s

        =

        s

        .

    {\ displaystyle y \ land y = y.}

Δομή παραγγελίας

Το πλέγμα με την έννοια των μερικών παραγγελιών είναι (μη κενό) μερική σειρά

        (

        Ένα

        .

        ⩽

        )

        .

    {\ displaystyle (A, \ leqslant),}

   στο οποίο κάθε ζευγάρι

        x

        .

        s

    {\ displaystyle x, y}

   έχει χαμηλότερο όριο

        inf

        (

        x

        .

        s

        )

    {\ displaystyle \ inf (x, y)}

   και άνω άκρο

        sup

        (

        x

        .

        s

        )

        .

    {\ displaystyle \ sup (x, y).}

Εάν ορίσουμε

        x

        ∨

        s

        : =

        sup

        (

        x

        .

        s

        )

        .

    {\ displaystyle x \ lor y: = \ sup (x, y),}

        x

        ∧

        s

        : =

        inf

        (

        x

        .

        s

        )

        .

    {\ displaystyle x \ land y: = \ inf (x, y),}

  τότε θα πάρουμε μια σχάρα με την αλγεβρική έννοια, στην οποία φυσικά

        x

        ⩽

        s

        ⇔

        x

        ∨

        s

        =

        s

        .