cada face tem 4 arestas;
de cada vértice partem 3 arestas;
vale a relação de Euler:
V
−
A
+
F
=
2
{\displaystyle V-A+F=2}
, onde
V
{\displaystyle V}
representa o número de vértices,
A
{\displaystyle A}
o número de arestas e
F
{\displaystyle F}
o número de faces.O cubo é também um poliedro regular, pois além das características de sólido platônico, possui:
faces poligonais regulares e congruentes;
ângulos poliédricos congruentes.Ainda, é um prisma quadrangular regular, pois possui duas bases paralelas e congruentes (já que é um poliedro regular), suas bases são polígonos regulares (quadrados) e as arestas laterais formam ângulos retos (
90
∘
{\displaystyle 90^{\circ }}
) com as arestas das bases. No cubo, todos os diedros possuem ângulo reto.
O cubo é também um sólido sociável, já que ele pode ser aglomerado perfeitamente, o que significa que é possível juntar vários cubos sem que sobrem espaços vazios.
Como definido anteriormente, o cubo possui 6 faces quadrangulares, de modo que cada face possui 4 arestas. Daí, multiplicando o número de faces pelo número de arestas, tem-se:
6
⋅
4
=
24
{\displaystyle 6\cdot 4=24}
Porém, o número de arestas obtido é o dobro do número de arestas total do cubo, já que cada aresta pertence a duas faces. Por isso, é necessário dividir o resultado acima por 2. Logo:
24
÷
2
=
12
{\displaystyle 24\div 2=12}
Daí, segue que 12 é o número total de arestas do cubo.
Para obter o número de vértices do cubo, basta substituir na relação de Euler os valores obtidos:
V
−
A
+
F
=
2
{\displaystyle V-A+F=2}
sendo
F
=
6
{\displaystyle F=6}
e
A
=
12
{\displaystyle A=12}
, tem-se:
V
−
12
+
6
=
2
⇒
V
−
6
=
2
⇒
V
−
6
+
6
=
2
+
6
⇒
V
=
8
{\displaystyle V-12+6=2\Rightarrow V-6=2\Rightarrow V-6+6=2+6\Rightarrow V=8}
Logo, 8 é o número de vértices do cubo.
Sendo
n
{\displaystyle n}
o número de lados do polígono da base do prisma, é possível obter o número de vértices, arestas e faces que possui, já que todo prisma é composto por:
2
{\displaystyle 2}
bases congruentes;
n
{\displaystyle n}
faces laterais e
n
+
2
{\displaystyle n+2}
faces no total - as
n
{\displaystyle n}
faces laterais e as
2
{\displaystyle 2}
bases (as faces laterais são paralelogramos e dependem do número de lados do polígono da base);
n
{\displaystyle n}
arestas laterais e
3
n
{\displaystyle 3n}
arestas no total;
2
n
{\displaystyle 2n}
vértices - resultado da soma do número de vértices dos polígonos das bases.Assim, como o polígono da base do cubo é um quadrado, tem-se:
n
=
4.
