Groupset - rompecabezas en línea
En álgebra abstracta, un grupo es una estructura algebraica formada por un conjunto no vacío dotado de una operación interna que combina cualquier par de elementos para componer un tercero, dentro del mismo conjunto y que satisface las propiedades asociativa, existencia de elemento neutro y simétrico.
Establecimiento del concepto de grupo
La formulación axiomática del concepto de grupo permite la separación desde lo concreto hacia lo abstracto, favoreciendo trabajar de una manera flexible y dinámica entre diferentes objetos matemáticos, para permitir un tratamiento general de todos ellos, gracias a que poseen un sustrato estructural inherente y común. De este modo, un teorema válido para un objeto concreto puede ser verificado para otro de la misma categoría, elevándose a una teoremática abstracta que a todos ellos afecta.
Existen millones de grupos y su estudio pormenorizado sin un cuerpo axiomático, aun con la ayuda informática, se haría del todo inviable y poco práctico, por ello, el álgebra abstracta tiene este importante papel que se traslada a las matemáticas aplicadas y a las ciencias que lo requieran, para su fundamentación teórica y posterior utilización práctica.
La aparición de los grupos en diversas áreas del conocimiento (tanto dentro como fuera de las matemáticas ) los convierte en un principio central en torno al cual se perfilan y se establecen las matemáticas contemporáneas, con aplicación inmediata en otras áreas científicas.
Las condiciones necesarias y suficientes para que el par
(
G
,
⊛
)
{\displaystyle (G,\,\circledast )}
sea un grupo son:
(
G
,
⊛
)
{\displaystyle (G,\,\circledast )}
es un monoide o semigrupo con elemento neutro
(
G
,
⊛
)
{\displaystyle (G,\,\circledast )}
verifica la existencia de elemento simétrico para cada uno de sus elementos.
∃
!
e
∈
G
:
e
⊛
a
=
a
,
∀
a
∈
G
.
{\displaystyle \exists !e\in G:\,\,e\circledast a=a,\,\forall a\in G.}
∀
a
∈
G
,
∃
a
¯
:
a
⊛
a
¯
=
e
{\displaystyle \forall a\in G,\,\exists {\bar {a}}:\,a\circledast {\bar {a}}=e\,\,\,}
A veces, para simplificar el discurso se dice «G es un grupo» cuando deseamos indicar que «(G,
⊛
{\displaystyle \circledast }
) es un grupo».
Para que (G,
⊛
{\displaystyle \circledast }
) pueda satisfacer la existencia de una estructura de monoide o de semigrupo con elemento neutro, debe satisfacer las siguientes propiedades:
(G,
⊛
{\displaystyle \circledast }
) se define con una estructura basal de magma. Queda así establecido al definir al operador «
⊛
{\displaystyle \circledast }
» como interno lo que permite operar entre sí a los elementos del conjunto, obteniendo como resultado otro elemento de ese mismo conjunto, a este concepto también se le denomina clausura lineal.
(G,
⊛
{\displaystyle \circledast }
) verifica la propiedad asociativa.
(G,
⊛
{\displaystyle \circledast }
) posee un elemento de identidad o elemento neutro e.
(G,
⊛
{\displaystyle \circledast }
) es un grupo si además, verifica la existencia de elemento simétrico para cada uno de sus elementos.
