La formulación axiomática del concepto de grupo permite la separación desde lo concreto hacia lo abstracto, favoreciendo trabajar de una manera flexible y dinámica entre diferentes objetos matemáticos, para permitir un tratamiento general de todos ellos, gracias a que poseen un sustrato estructural inherente y común. De este modo, un teorema válido para un objeto concreto puede ser verificado para otro de la misma categoría, elevándose a una teoremática abstracta que a todos ellos afecta.
Existen millones de grupos y su estudio pormenorizado sin un cuerpo axiomático, aun con la ayuda informática, se haría del todo inviable y poco práctico, por ello, el álgebra abstracta tiene este importante papel que se traslada a las matemáticas aplicadas y a las ciencias que lo requieran, para su fundamentación teórica y posterior utilización práctica.
La aparición de los grupos en diversas áreas del conocimiento (tanto dentro como fuera de las matemáticas ) los convierte en un principio central en torno al cual se perfilan y se establecen las matemáticas contemporáneas, con aplicación inmediata en otras áreas científicas.
Las condiciones necesarias y suficientes para que el par
(
G
,
⊛
)
{\displaystyle (G,\,\circledast )}
sea un grupo son:
(
G
,
⊛
)
{\displaystyle (G,\,\circledast )}
es un monoide o semigrupo con elemento neutro
(
G
,
⊛
)
{\displaystyle (G,\,\circledast )}
verifica la existencia de elemento simétrico para cada uno de sus elementos.
∃
!
e
∈
G
:
e
⊛
a
=
a
,
∀
a
∈
G
.
{\displaystyle \exists !e\in G:\,\,e\circledast a=a,\,\forall a\in G.}
∀
a
∈
G
,
∃
a
¯
:
a
⊛
a
¯
=
e
{\displaystyle \forall a\in G,\,\exists {\bar {a}}:\,a\circledast {\bar {a}}=e\,\,\,}
A veces, para simplificar el discurso se dice «G es un grupo» cuando deseamos indicar que «(G,
⊛
{\displaystyle \circledast }
) es un grupo».
Para que (G,
⊛
{\displaystyle \circledast }
) pueda satisfacer la existencia de una estructura de monoide o de semigrupo con elemento neutro, debe satisfacer las siguientes propiedades:
(G,
⊛
{\displaystyle \circledast }
) se define con una estructura basal de magma. Queda así establecido al definir al operador «
⊛
{\displaystyle \circledast }
» como interno lo que permite operar entre sí a los elementos del conjunto, obteniendo como resultado otro elemento de ese mismo conjunto, a este concepto también se le denomina clausura lineal.
(G,
⊛
{\displaystyle \circledast }
) verifica la propiedad asociativa.
(G,
⊛
{\displaystyle \circledast }
) posee un elemento de identidad o elemento neutro e.
(G,
⊛
{\displaystyle \circledast }
) es un grupo si además, verifica la existencia de elemento simétrico para cada uno de sus elementos.
