Το Mandelbulb είναι ένα τρισδιάστατο φράκταλ, που κατασκευάστηκε από τους Daniel White και Paul Nylander χρησιμοποιώντας σφαιρικές συντεταγμένες το 2009. Δεν υπάρχει κανονικό τρισδιάστατο σετ Mandelbrot, καθώς δεν υπάρχει τρισδιάστατο ανάλογο του 2-διαστατικού χώρου πολύπλοκων αριθμών. Είναι δυνατή η κατασκευή σετ Mandelbrot σε 4 διαστάσεις χρησιμοποιώντας τεταρτημόρια και αριθμούς αμφίδρομων.
Η φόρμουλα White και Nylander για τη «nth δύναμη» του διανύσματος
β
=
⟨
Χ
,
ε
,
ζ
⟩
{\ displaystyle {\ mathbf {v}} = \ langle x, y, z \ rangle}
στο ℝ3 είναι
β
ν
: =
ρ
ν
⟨
αμαρτία
(
ν
θ
)
συν
(
ν
ϕ
)
,
αμαρτία
(
ν
θ
)
αμαρτία
(
ν
ϕ
)
,
συν
(
ν
θ
)
⟩
{\ displaystyle {\ mathbf {v}} ^ {n}: = r ^ {n} \ langle \ sin (n \ theta) \ cos (n \ phi), \ sin (n \ theta) \ sin (n \ phi), \ cos (n \ theta) \ rangle}
όπου
ρ
=
Χ
2
+
ε
2
+
ζ
2
{\ displaystyle r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}}
,
ϕ
=
Αρκτάν
(
ε
/
Χ
)
=
υποστηρίζει
(
Χ
+
ε
Εγώ
)
{\ displaystyle \ phi = \ arctan (y / x) = \ arg (x + yi)}
, και
θ
=
Αρκτάν
(
Χ
2
+
ε
2
/
ζ
)
=
τόξα
(
ζ
/
ρ
)
{\ displaystyle \ theta = \ arctan ({\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} / z) = \ arccos (z / r)}
. Το Mandelbulb ορίζεται στη συνέχεια ως το σύνολο αυτών
ντο
{\ displaystyle {\ mathbf {c}}}
σε ℝ3 για την οποία η τροχιά του
⟨
0
,
0
,
0
⟩
{\ displaystyle \ langle 0,0,0 \ rangle}
κάτω από την επανάληψη
β
↦
β
ν
+
ντο
{\ displaystyle {\ mathbf {v}} \ mapsto {\ mathbf {v}} ^ {n} + {\ mathbf {c}}}
είναι οριοθετημένο. Για το n> 3, το αποτέλεσμα είναι μια τρισδιάστατη δομή που μοιάζει με βολβό με λεπτομέρεια φράκταλ επιφάνειας και έναν αριθμό "λοβών" ανάλογα με το n. Πολλές από τις γραφικές αποδόσεις τους χρησιμοποιούν n = 8. Ωστόσο, οι εξισώσεις μπορούν να απλοποιηθούν σε λογικά πολυώνυμα όταν το n είναι περίεργο. Για παράδειγμα, στην περίπτωση n = 3, η τρίτη ισχύς μπορεί να απλοποιηθεί στην πιο κομψή μορφή:
⟨
Χ
,
ε
,
ζ
⟩
3
=
⟨
(
3
ζ
2
-
Χ
2
-
ε
2
)
Χ
(
Χ
2
-
3
ε
2
)
Χ
2
...
