Την κανονική κατανομή ακολουθούν είτε με ακρίβεια είτε με μεγάλη προσέγγιση τα περισσότερα συνεχή φαινόμενα.
Πολλές ασυνεχείς κατανομές πιθανοτήτων μπορούν να προσεγγιστούν μέσω της κανονικής κατανομής. Για παράδειγμα πολλά πληθυσμιακά χαρακτηριστικά, όπως το ύψος, το βάρος η βαθμολογία σε διαγώνισμα, κ.λπ.
Η κανονική κατανομή αποτελεί σύμφωνα με το κεντρικό οριακό θεώρημα (το άθροισμα ενός ικανοποιητικά μεγάλου αριθμού ανεξάρτητων και ισόνομων τυχαίων μεταβλητών προσεγγίζεται από την κανονική κατανομή) τη βάση της στατιστικής συμπερασματολογίας ή επαγωγικής στατιστικής.
Τυχαία σφάλματα που εμφανίζονται σε διάφορες μετρήσεις έχουν κανονική κατανομή. Γι' αυτό το λόγο η Κανονική κατανομή αναφέρεται πολλές φορές και ως κατανομή σφαλμάτων.Η γραφική παράσταση της σχετιζόμενης συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας έχει σχήμα «καμπάνας», και είναι γνωστή ως γκαουσιανή συνάρτηση ή κωδωνοειδής καμπύλη:
f
(
x
)
=
1
2
π
σ
2
e
−
(
x
−
μ
)
2
2
σ
2
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}
Μια πραγματική τυχαία μεταβλητή Χ με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας:
f
(
x
)
=
1
2
π
σ
2
e
−
(
x
−
μ
)
2
/
2
σ
2
{\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\,e^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}}
όπου e=η βάση των νεπέρειων λογαρίθμων (≡2,71828), π=η γνωστή μαθηματική σταθερά (≡3,14159), μ=ο μέσος του πληθυσμού, σ=η τυπική απόκλιση του πληθυσμού και Χ=μια τιμή της συνεχούς τυχαίας μεταβλητής στο διάστημα -∞ έως +∞,
ονομάζεται κανονικά κατανεμημένη με μέση τιμή μ και διακύμανση σ2. Συμβολίζεται με
X
∼
N
(
μ
,
σ
2
)
{\displaystyle X\ \sim \ {\mathcal {N}}(\mu,\,\sigma ^{2})}
.
Για μια τυχαία μεταβλητή
Z
∼
N
(
0
,
1
)
{\displaystyle Z\sim {\mathcal {N}}(0,\,1)}
η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας συμβολίζεται με
ϕ
(
z
)
{\displaystyle \phi (z)}
και η συνάρτηση κατανομής με
Φ
(
z
)
{\displaystyle \Phi (z)}
.
