Η γωνία που είναι χαραγμένη σε κύκλο - η γωνία της οποίας η κορυφή βρίσκεται στον κύκλο και οι βραχίονες περιέχουν χορδές που βγαίνουν από την κορυφή. Για παράδειγμα, η γωνία PQR που φαίνεται στο σχήμα είναι εγγεγραμμένη σε κύκλο. Λέμε ότι η γωνία PQR βασίζεται στο τόξο PR. Εάν η εγγεγραμμένη γωνία βασίζεται σε ημικύκλιο, λέμε επίσης ότι βασίζεται στη διάμετρο. Η έννοια της εγγεγραμμένης γωνίας σχετίζεται με την έννοια της μεσαίας γωνίας. == Χαρακτηριστικά της γωνίας που είναι εγγεγραμμένη σε κύκλο == === Θεώρημα για την κεντρική γωνία και την εγγεγραμμένη γωνία με βάση το ίδιο τόξο === Το μέτρο της εγγεγραμμένης γωνίας είναι διπλάσιο από το μέτρο της κεντρικής γωνίας με βάση το ίδιο τόξο. Απόδειξη Αφήστε την εγγεγραμμένη γωνία να έχει το μέτρο β, η κεντρική γωνία που βασίζεται στο ίδιο τόξο έχει το μέτρο α. Ας πάρουμε την ακτίνα από την κορυφή της εγγεγραμμένης γωνίας (κόκκινο στην εικόνα). Διαιρεί αυτή τη γωνία σε δύο γωνίες με τα μέτρα β = β 1 + β 2 {\ displaystyle \ beta = \ beta _ {1} + \ beta _ {2}} και ταυτόχρονα προσδιορίζει δύο ισοσκελή τρίγωνα με γωνίες κορυφής αντίστοιχα γ 1, γ 2. {\ displaystyle \ gamma _ {1}, \ gamma _ {2}.} Και για τα δύο αυτά ισοσκελή τρίγωνα έχουμε τις σχέσεις: 2 ⋅ β 1 + γ 1 = π (1) {\ displaystyle 2 \ cdot \ beta _ {1} + \ gamma _ {1} = \ pi \ quad (1)} 2 ⋅ β 2 + γ 2 = π (2) {\ displaystyle 2 \ cdot \ beta _ {2} + \ gamma _ {2} = \ pi \ quad (2)} προσθέτοντας σελίδες (1) και (2) και παραγγείλουμε: 2 ⋅ (β 1 + β 2) = 2 π - (γ 1 + γ 2) {\ displaystyle 2 \ cdot (\ beta _ { 1} + \ beta _ {2}) = 2 \ pi - (\ gamma _ {1} + \ gamma _ {2})} Επειδή 2 π - (γ 1 + γ 2) = α {\ displaystyle 2 \ pi - (\ gamma _ {1} + \ gamma _ {2}) = \ alpha} έτσι 2 β = α {\ displaystyle 2 \ beta = \ alpha} Σημείωση Εάν η κεντρική γωνία δεν ταιριάζει στην αντίστοιχη εγγεγραμμένη γωνία, τότε (1) και (2) θα πρέπει να αφαιρούνται αντί να προστεθούν. Εάν η κορυφή της κεντρικής γωνίας βρίσκεται σε έναν από τους εγγεγραμμένους γωνιακούς βραχίονες, τότε θεωρούμε μόνο έναν από τις εξισώσεις (1) και (2).
