perspektive - Online-Puzzles
Online-Puzzle perspektive
Als Zentralkollineation (kurz: Perspektivität) wird in der Geometrie eine Kollineation bezeichnet, die ein Zentrum und eine Fixpunkthyperebene besitzt. Das Zentrum ist ein Punkt des projektiven Raumes mit der Eigenschaft, dass jede Gerade durch diesen Punkt eine Fixgerade der Perspektivität ist.
Älter als der Begriff Perspektivität im Sinne einer bijektiven Selbstabbildung eines mindestens zweidimensionalen projektiven Raumes ist das Konzept der perspektiven Lage von eindimensionalen Gebilden zueinander, vergleiche die Abbildung rechts unten. Moderner spricht man hier von einer zentralperspektiven Zuordnung oder dual von einer axialperspektiven Zuordnung. Diese Abbildungen, die zum Beispiel bereits für den Satz von Pascal wichtig sind, lassen sich im Allgemeinen nur dann zu einer Perspektivität des Gesamtraumes fortsetzen, wenn dieser Raum pappossch ist und das Fano-Axiom erfüllt. Algebraisch formuliert: Wenn dieser umfassendere Raum ein
P
n
(
K
)
,
n
≥
2
{\displaystyle \mathbb {P} ^{n}(K),n\geq 2}
über einem kommutativen Körper
K
{\displaystyle K}
mit einer Charakteristik
char
(
K
)
≠
2
{\displaystyle \operatorname {char} (K)\neq 2}
ist. Da man bis zur zweiten Hälfte des neunzehnten Jahrhunderts (implizit, denn eine Axiomatik der reellen Zahlen wurde erst damals entwickelt) reelle, höchstens dreidimensionale projektive Geometrie (als Geometrie der Lage) betrieben hat, werden in der älteren Literatur perspektive Zuordnung und Perspektivität nicht scharf unterschieden und häufig gleich bezeichnet.
In der synthetischen Geometrie wird der Begriff „ ebene Perspektivität“ für projektive Ebenen unabhängig vom Begriff „Projektivität“ definiert: Dort ist eine Perspektivität eine (projektive) Kollineation mit einem Zentrum und einer Fixpunktgeraden (Achse). Für projektive Ebenen ist der Begriff gleichbedeutend zum Begriff zentral-axiale Kollineation.
Die Definition der synthetischen Geometrie ist für desarguesssche projektive Ebenen – das sind gerade die Ebenen, die zugleich als zweidimensionale projektive Räume im Sinne der analytischen Geometrie aufgefasst werden können – gleichwertig zur Definition als Projektivitäten mit Zentrum und Achse.