Für viele Fragestellungen der Elementargeometrie, bei denen es um Winkel an Kreisen geht, lassen sich die im Folgenden erklärten Begriffe und Aussagen verwenden.
Begriffe
Verbindet man die voneinander verschiedenen Endpunkte A und B eines Kreisbogens mit seinem Mittelpunkt M und einem Punkt P auf dem Kreisbogen, so liegen folgende Winkel vor:
Umfangswinkel oder Peripheriewinkel (ϕ) nennt man einen Winkel
∠
A
P
B
{\displaystyle \angle {\rm {APB}}}
, dessen Scheitel P auf demjenigen Kreisbogen liegt, der den gegebenen Kreisbogen über [AB] zum vollständigen Kreis (dem Umkreis des Dreiecks ABP) ergänzt.
Mittelpunktswinkel (μ): Ist M der Mittelpunkt des gegebenen Kreisbogens, so bezeichnet man den Winkel
∠
A
M
B
{\displaystyle \angle {\rm {AMB}}}
als den zugehörigen Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel).
Ein Sehnentangentenwinkel (τ) zum gegebenen Kreisbogen wird begrenzt von der Sehne [AB] und der Kreistangente im Punkt A bzw. B.Viele Autoren von Geometrie-Lehrbüchern nehmen bei Umfangswinkeln, Mittelpunktswinkeln und Sehnentangentenwinkeln nicht Bezug auf einen gegebenen Kreisbogen, sondern auf eine gegebene Kreissehne [AB]. Legt man eine solche Definition zugrunde, so muss man zwei Arten von Umfangswinkeln unterscheiden, nämlich spitze und stumpfe Umfangswinkel. Als Mittelpunktswinkel definiert man in diesem Fall den kleineren der beiden Winkel, die von den Kreisradien [MA] und [MB] eingeschlossen werden. Die Formulierung der Sätze im nächsten Abschnitt muss bei Verwendung dieser Definition ein wenig variiert werden.
Kreiswinkelsatz (Zentriwinkelsatz)
Der Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel) eines Kreisbogens ist doppelt so groß wie einer der zugehörigen Umfangswinkel (Peripheriewinkel).
Der Beweis dieser Aussage ist in dem links skizzierten Spezialfall besonders einfach.
