arcus - online puzzle
Cyklometrické funkce jsou inverzní zobrazení ke goniometrickým funkcím.
Definice
Mezi cyklometrické funkce patří:
Arkus sinus –
arcsin
{\displaystyle \arcsin }
Arkus kosinus –
arccos
{\displaystyle \arccos }
Arkus tangens –
a
r
c
t
g
{\displaystyle \mathrm {arctg} }
Arkus kotangens –
a
r
c
c
o
t
g
{\displaystyle \mathrm {arccotg} }
Arkus sekans –
arcsec
{\displaystyle \operatorname {arcsec} }
Arkus kosekans –
arccsc
{\displaystyle \operatorname {arccsc} }
Aby mohla k libovolné funkci existovat inverzní funkce, daná funkce musí být prostá, to znamená, že různým dvěma prvkům musí přiřazovat dvě různé hodnoty. Protože jsou ale goniometrické funkce periodické, tzn. nejsou prosté, musíme nejprve ošetřit jejich definiční obor a také definiční obory goniometrických funkcí. To znamená, že vybereme jen tu podmnožinu definičního oboru dané geometrické funkce, na které je prostá.
Definiční obory cyklometrických a goniometrických funkcí
Vztahy mezi cyklometrickými a goniometrickými funkcemi
sin a arcsin
arcsin
(
sin
x
)
=
x
{\displaystyle \arcsin(\sin x)=x}
, pokud platí
|
x
|
≤
π
2
{\displaystyle \ |x|\leq {\frac {\pi }{2}}}
sin
(
arcsin
x
)
=
x
{\displaystyle \sin(\arcsin x)=x}
, pokud platí
|
x
|
≤
1
{\displaystyle \ |x|\leq 1}
cos a arccos
arccos
(
cos
x
)
=
x
{\displaystyle \arccos(\cos x)=x}
, pokud platí
0
≤
x
≤
π
{\displaystyle \ 0\leq x\leq \pi }
cos
(
arccos
x
)
=
x
{\displaystyle \cos(\arccos x)=x}
, pokud platí
|
x
|
≤
1
{\displaystyle \ |x|\leq 1}
tg a arctg
arctg
(
tg
x
)
=
x
{\displaystyle \operatorname {arctg} (\operatorname {tg} x)=x}
, pokud platí
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \ |x|<{\frac {\pi }{2}}}
tg
(
arctg
x
)
=
x
{\displaystyle \operatorname {tg} (\operatorname {arctg} x)=x}
cotg a arccotg
arccotg
(
cotg
x
)
=
x
{\displaystyle \operatorname {arccotg} (\operatorname {cotg} x)=x}
, pokud platí
0
<
x
<
π
{\displaystyle \ 0 cotg ( arcotg x ) = x {\displaystyle \operatorname {cotg} (\operatorname {arcotg} x)=x} arcsin x = π 2 − arccos x = arctg ( x 1 − x 2 ) = π 2 − arccotg ( x 1 − x 2 ) arccos x = π 2 − arcsin x = π 2 − arctg ( x 1 − x 2 ) = arccotg ( x 1 − x 2 ) arctg x = arcsin ( x 1 + x 2 ) = π 2 − arccos ( x 1 + x 2 ) = π 2 − arccotg x arccotg x = π 2 − arcsin ( x 1 + x 2 ) = arccos ( x 1 + x 2 ) = π 2 − arctg x {\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin x&={\frac {\pi }{2}}-\arccos x=\operatorname {arctg} \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccotg} \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)\\[12pt]\arccos x&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arctg} \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)=\operatorname {arccotg} \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)\\[12pt]\operatorname {arctg} x&=\arcsin \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\arccos \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccotg} x\\[12pt]\operatorname {arccotg} x&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)=\arccos \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arctg} x\end{aligned}}} Dále platí: arccotg x = { arctg 1 x , pokud platí x > 0 , π + arctg 1 x , pokud platí x < 0. {\displaystyle \operatorname {arccotg} x={\begin{cases}\operatorname {arctg} \displaystyle {\frac {1}{x}}\,,&{\text{pokud platí }}x>0,\\[12pt]\pi +\operatorname {arctg} \displaystyle {\frac {1}{x}}\,,&{\text{pokud platí }}x<0.\end{cases}}} arcsin ( − x ) = − arcsin x arccos ( − x ) = π − arccos x arctg ( − x ) = − arctg x arccotg ( − x ) = π − arccotg x {\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(-x)&=-\arcsin x\\\arccos(-x)&=\pi -\arccos x\\\operatorname {arctg} (-x)&=-\operatorname {arctg} x\\\operatorname {arccotg} (-x)&=\pi -\operatorname {arccotg} x\end{aligned}}} arcsin x + arcsin y = { arcsin ( x 1 − y 2 + y 1 − x 2 ) , pokud platí x y ≤ 0 nebo x 2 + y 2 ≤ 1 , π − arcsin ( x 1 − y 2 + y 1 − x 2 ) , pokud platí x > 0 , y > 0 , x 2 + y 2 > 1 , − π − arcsin ( x 1 − y 2 + y 1 − x 2 ) , pokud platí x < 0 , y < 0 , x 2 + y 2 > 1. {\displaystyle \arcsin x\,+\,\arcsin y={\begin{cases}\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),&{\text{pokud platí }}xy\leq 0{\text{ nebo }}x^{2}+y^{2}\leq 1,\\[12pt]\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),&{\text{pokud platí }}x>0,y>0,x^{2}+y^{2}>1,\\[12pt]-\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),&{\text{pokud platí }}x<0,y<0,x^{2}+y^{2}>1.\end{cases}}} arcsin x − arcsin y = { arcsin ( x 1 − y 2 − y 1 − x 2 ) , pokud platí x y ≥ 0 nebo x 2 + y 2 ≤ 1 , π − arcsin ( x 1 − y 2 − y 1 − x 2 ) , pokud platí x > 0 , y < 0 , x 2 + y 2 > 1 , − π − arcsin ( x 1 − y 2 + y 1 − x 2 ) , pokud platí x < 0 , y > 0 , x 2 + y 2 > 1. {\displaystyle \arcsin x\,-\,\arcsin y={\begin{cases}\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}-y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),&{\text{pokud platí }}xy\geq 0{\text{ nebo }}x^{2}+y^{2}\leq 1,\\[12pt]\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}-y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),&{\text{pokud platí }}x>0,y<0,x^{2}+y^{2}>1,\\[12pt]-\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),&{\text{pokud platí }}x<0,y>0,x^{2}+y^{2}>1.\end{cases}}} arccos x + arccos y = { arccos ( x y − 1 − x 2 ⋅ 1 − y 2 ) , pokud platí x + y ≥ 0 , 2 π − arccos ( x y − 1 − x 2 ⋅ 1 − y 2 ) , pokud platí x + y < 0. {\displaystyle \arccos x\,+\,\arccos y={\begin{cases}\arccos \left(xy-{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-y^{2}}}\right),&{\text{pokud platí }}x+y\geq 0,\\[12pt]2\pi -\arccos \left(xy-{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-y^{2}}}\right),&{\text{pokud platí }}x+y<0.\end{cases}}} arccos x − arccos y = { − arccos ( x y + 1 − x 2 ⋅ 1 − y 2 ) , pokud platí x ≥ y , arccos ( x y + 1 − x 2 ⋅ 1 − y 2 ) , pokud platí x < y .Vztahy mezi cyklometrickými funkcemi
Vztahy mezi cyklometrickými funkcemi se vzájemně opačnými argumenty
Součty a rozdíly cyklometrických funkcí
arcsin x + arcsin y
arcsin x − arcsin y
arccos x + arccos y
arccos x − arccos y
