Mezi cyklometrické funkce patří:
Arkus sinus –
arcsin
{\displaystyle \arcsin }
Arkus kosinus –
arccos
{\displaystyle \arccos }
Arkus tangens –
a
r
c
t
g
{\displaystyle \mathrm {arctg} }
Arkus kotangens –
a
r
c
c
o
t
g
{\displaystyle \mathrm {arccotg} }
Arkus sekans –
arcsec
{\displaystyle \operatorname {arcsec} }
Arkus kosekans –
arccsc
{\displaystyle \operatorname {arccsc} }
Aby mohla k libovolné funkci existovat inverzní funkce, daná funkce musí být prostá, to znamená, že různým dvěma prvkům musí přiřazovat dvě různé hodnoty. Protože jsou ale goniometrické funkce periodické, tzn. nejsou prosté, musíme nejprve ošetřit jejich definiční obor a také definiční obory goniometrických funkcí. To znamená, že vybereme jen tu podmnožinu definičního oboru dané geometrické funkce, na které je prostá.
arcsin
(
sin
x
)
=
x
{\displaystyle \arcsin(\sin x)=x}
, pokud platí
|
x
|
≤
π
2
{\displaystyle \ |x|\leq {\frac {\pi }{2}}}
sin
(
arcsin
x
)
=
x
{\displaystyle \sin(\arcsin x)=x}
, pokud platí
|
x
|
≤
1
{\displaystyle \ |x|\leq 1}
arccos
(
cos
x
)
=
x
{\displaystyle \arccos(\cos x)=x}
, pokud platí
0
≤
x
≤
π
{\displaystyle \ 0\leq x\leq \pi }
cos
(
arccos
x
)
=
x
{\displaystyle \cos(\arccos x)=x}
, pokud platí
|
x
|
≤
1
{\displaystyle \ |x|\leq 1}
arctg
(
tg
x
)
=
x
{\displaystyle \operatorname {arctg} (\operatorname {tg} x)=x}
, pokud platí
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \ |x|<{\frac {\pi }{2}}}
tg
(
arctg
x
)
=
x
{\displaystyle \operatorname {tg} (\operatorname {arctg} x)=x}
arccotg
(
cotg
x
)
=
x
{\displaystyle \operatorname {arccotg} (\operatorname {cotg} x)=x}
, pokud platí
0
<
x
<
π
{\displaystyle \ 0 cotg ( arcotg x ) = x {\displaystyle \operatorname {cotg} (\operatorname {arcotg} x)=x} arcsin x = π 2 − arccos x = arctg ( x 1 − x 2 ) = π 2 − arccotg ( x 1 − x 2 ) arccos x = π 2 − arcsin x = π 2 − arctg ( x 1 − x 2 ) = arccotg ( x 1 − x 2 ) arctg x = arcsin ( x 1 + x 2 ) = π 2 − arccos ( x 1 + x 2 ) = π 2 − arccotg x arccotg x = π 2 − arcsin ( x 1 + x 2 ) = arccos ( x 1 + x 2 ) = π 2 − arctg x {\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin x&={\frac {\pi }{2}}-\arccos x=\operatorname {arctg} \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccotg} \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)\\[12pt]\arccos x&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arctg} \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)=\operatorname {arccotg} \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)\\[12pt]\operatorname {arctg} x&=\arcsin \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\arccos \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccotg} x\\[12pt]\operatorname {arccotg} x&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)=\arccos \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arctg} x\end{aligned}}} Dále platí: arccotg x = { arctg 1 x , pokud platí x > 0 , π + arctg 1 x , pokud platí x < 0. {\displaystyle \operatorname {arccotg} x={\begin{cases}\operatorname {arctg} \displaystyle {\frac {1}{x}}\,,&{\text{pokud platí }}x>0,\\[12pt]\pi +\operatorname {arctg} \displaystyle {\frac {1}{x}}\,,&{\text{pokud platí }}x<0.\end{cases}}} arcsin ( − x ) = − arcsin x arccos ( − x ) = π − arccos x arctg ( − x ) = − arctg x arccotg ( − x ) = π − arccotg x {\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(-x)&=-\arcsin x\\\arccos(-x)&=\pi -\arccos x\\\operatorname {arctg} (-x)&=-\operatorname {arctg} x\\\operatorname {arccotg} (-x)&=\pi -\operatorname {arccotg} x\end{aligned}}} arcsin x + arcsin y = { arcsin ( x 1 − y 2 + y 1 − x 2 ) , pokud platí x y ≤ 0 nebo x 2 + y 2 ≤ 1 , π − arcsin ( x 1 − y 2 + y 1 − x 2 ) , pokud platí x > 0 , y > 0 , x 2 + y 2 > 1 , − π − arcsin ( x 1 − y 2 + y 1 − x 2 ) , pokud platí x < 0 , y < 0 , x 2 + y 2 > 1. {\displaystyle \arcsin x\,+\,\arcsin y={\begin{cases}\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),&{\text{pokud platí }}xy\leq 0{\text{ nebo }}x^{2}+y^{2}\leq 1,\\[12pt]\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),&{\text{pokud platí }}x>0,y>0,x^{2}+y^{2}>1,\\[12pt]-\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),&{\text{pokud platí }}x<0,y<0,x^{2}+y^{2}>1.\end{cases}}} arcsin x − arcsin y = { arcsin ( x 1 − y 2 − y 1 − x 2 ) , pokud platí x y ≥ 0 nebo x 2 + y 2 ≤ 1 , π − arcsin ( x 1 − y 2 − y 1 − x 2 ) , pokud platí x > 0 , y < 0 , x 2 + y 2 > 1 , − π − arcsin ( x 1 − y 2 + y 1 − x 2 ) , pokud platí x < 0 , y > 0 , x 2 + y 2 > 1. {\displaystyle \arcsin x\,-\,\arcsin y={\begin{cases}\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}-y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),&{\text{pokud platí }}xy\geq 0{\text{ nebo }}x^{2}+y^{2}\leq 1,\\[12pt]\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}-y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),&{\text{pokud platí }}x>0,y<0,x^{2}+y^{2}>1,\\[12pt]-\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right),&{\text{pokud platí }}x<0,y>0,x^{2}+y^{2}>1.\end{cases}}} arccos x + arccos y = { arccos ( x y − 1 − x 2 ⋅ 1 − y 2 ) , pokud platí x + y ≥ 0 , 2 π − arccos ( x y − 1 − x 2 ⋅ 1 − y 2 ) , pokud platí x + y < 0. {\displaystyle \arccos x\,+\,\arccos y={\begin{cases}\arccos \left(xy-{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-y^{2}}}\right),&{\text{pokud platí }}x+y\geq 0,\\[12pt]2\pi -\arccos \left(xy-{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-y^{2}}}\right),&{\text{pokud platí }}x+y<0.\end{cases}}} arccos x − arccos y = { − arccos ( x y + 1 − x 2 ⋅ 1 − y 2 ) , pokud platí x ≥ y , arccos ( x y + 1 − x 2 ⋅ 1 − y 2 ) , pokud platí x < y .Vztahy mezi cyklometrickými funkcemi
Vztahy mezi cyklometrickými funkcemi se vzájemně opačnými argumenty
Součty a rozdíly cyklometrických funkcí
arcsin x + arcsin y
arcsin x − arcsin y
arccos x + arccos y
arccos x − arccos y