Klubová kariéra Kamiński je domovem klubu z jeho rodného města - Aluminium Konin, odkud se v roce 2005 připojil k juniorskému týmu Lech Poznań. V roce 2009 byl zařazen do Lechova prvního týmu. Debutoval v Ekstraklasě 21. listopadu 2009, když vyhrál zápas s Ruchem Chorzówem [2]. V debutové sezóně 2009/2010 se objevil čtyřikrát na prvních ligových hřištích a vyhrál polské mistrovství s Lechem. Od sezóny 2011/2012 byl základním hráčem týmu v Poznani, se kterým dvakrát dosáhl běžecké pozice v zemi (sezóna 2012/2013 a 2013/2014) a v sezóně 2014/2015 vyhrál další polský šampionát. V červnu 2016 podepsal tříletou smlouvu s VfB Stuttgart [3]. Svůj první tým debutoval 30. října 2016 v vítězství 3-1, 2. utkání Bundesligy proti Karlsruherovi [4]. Svého prvního gólu vstřelil ve Stuttgartu 5. dubna 2017, v přidaném čase v ligovém zápase proti TSV 1860 Mnichov, čímž týmu získal remízu 1: 1 [5]. V sezóně 2016/17 vyhrál s Bundemligou 2. Bundesligu, a tak se s tímto klubem přestěhoval do Bundesligy, zatímco se objevil v 23 zápasech a vstřelil 1 gól [6]. 19. srpna 2017, při ztrátě 0-2 pro Herthu, debutoval v Bundesligě [7].