Menger cube, Menger sponge - фрактален блок, триизмерен еквивалент на комплекта Cantor и килима Sierpinski. Фракталното измерение на кубката на Менгер е:
log320 = ln 20 / ln 3 ≈ 2.726833. Структурата на куба е дадена от австрийския математик Карл Менгер през 1927г.
Строителство
Кубчето Менгер се оформя както следва:
Даден е куб
Нарязваме го на 27 кубчета с еднакъв размер с равнини, успоредни на стените
Изваждаме всички кубчета в съседство с центъра на стените на оригиналния куб и кубчето в центъра му
Използваме предишната процедура за всяко от останалите 20 кубчета.След безкраен брой повторения на описаните операции получаваме кубче Менгер.
Следният псевдо-код, който е рекурсивна реализация на куба на Менгер, често се използва в много езици за програмиране, като:
n - сложност - неотрицателно цяло число,
x, y, z - координати на центъра,
d - дължина на ръба: Menger (n, x, y, z, d):
ако n = 0
създайте куб (x, y, z, d)
в противен случай
за i = {- 1.0,1}
за j = {- 1.0,1}
за k = {- 1,0,1}
ако (i * i + j * j) * (i * i + k * k) * (j * j + k * k)> 0
до Менгер (n-1, x + i * d / 3, y + j * d / 3, z + k * d / 3, d / 3)
Свойства
Всяка стена с куб е килим на Sierpinski. Диагоналът на куба е набор от Cantor. Кубът е компактен подмножество на евклидовото пространство, а неговата мярка за Лебег е 0.
Официални определения
Рекурсивно определение
Точната дефиниция на кубката на Менгер е следната:
М
: =
⋂
п
∈
N
М
п
{\ displaystyle M: = \ bigcap _ {n \ в \ mathbb {N}} M_ {n}}
където M0 означава куб {(x, y, z): 0 ≤ x, y, z ≤ 1}
М
п
+
1
: =
{
(
х
,
ите
,
от
)
∈
R
3
:
∃
и
,
к
,
к
∈
{
0
,
1
,
2
}
:
(
3
х
-
и
,
3
ите
-
к
,
3
от
-
к
)
∈
М
п
и най-много едно от числата
и
,
к
,
к
е равно на 1
}
{\ displaystyle M_ {n + 1}: = \ наляво \ {(x, y, z) \ в \ mathbb {R} ^ {3}: \ {\ съществува i, j, k \ in \ {0,1, 2 \} :( 3x-i, 3y-j, 3z-k) \ в M_ {n} \ на върха {\ mbox {и най-много едно от числата}} i, j, k {\ mbox {е равно на 1 }}} \ полето \}}
Нерекурсивно определение
Можете също така да определите Menger куб по еквивалентен начин, без да използвате рекурсия:
Кубът на Менгер е затварянето на набор от точки (x, y, z), така че 0 ≤ x, y, z ≤ 1 и при безкрайно разширяване на x, y координати, с трицифрена система от числа, никъде числото 1 не се среща повече от веднъж на една и съща позиция,
Точният куб на Sierpinski
Кубът на Менгер не е точният еквивалент на куба на Сърпински. Използвайки точно логиката на двумерната конструкция на килима
в три измерения, с всяка рекурсия трябва да се отстранява само намалената централна куба без странични кубчета.
В противен случай килимът трябва да бъде премахнат не един, а пет квадрата, образуващи заедно гръцкия кръст.
