Златна спирала - специален случай на логаритмична спирала, в който коефициент
б
{\ displaystyle b}
е константа в зависимост от
φ
{\ displaystyle \ varphi}
(където е
φ
{\ displaystyle \ varphi}
е „златното число“). Характерна особеност на златната спирала е, че на всеки 90 ° нейната ширина се увеличава (или намалява) точно
φ
{\ displaystyle \ varphi}
пъти.
Образец
Общи формули за логаритмична спирала в полярни координати:
R
=
и
д
б
θ
{\ displaystyle r = ae ^ {b \ theta}}
и
θ
=
1
б
Въ
(
R
/
и
)
,
{\ displaystyle \ theta = {\ frac {1} {b}} \ ln (r / a),}
(където е
д
{\ displaystyle e}
- основата на естествените логаритми) също се прилага към златната спирала. В случая
θ
{\ displaystyle \ theta}
е прав ъгъл
б
{\ displaystyle b}
е истинска константа, докато
R
/
и
=
φ
{\ displaystyle r / a = \ varphi}
(където е
φ
{\ displaystyle \ varphi}
е „златното число“). Оттук и формулата:
д
б
θ
=
φ
,
{\ displaystyle e ^ {b \ theta} = \ varphi.}
стойност
б
{\ displaystyle b}
се изразява с формулата:
б
=
Въ
φ
θ
,
{\ displaystyle b = {\ frac {\ ln {\ varphi}} {\ theta}}.}
стойност
б
{\ displaystyle b}
той може да бъде положителен или отрицателен, в зависимост от това в коя посока е насочен правият ъгъл
θ
,
{\ displaystyle \ theta.}
Абсолютна стойност на
б
{\ displaystyle b}
е:
|
б
|
=
Въ
φ
90
∘
=
0.005
3468
1
∘
{\ displaystyle | b | = {\ frac {\ ln \ varphi} {90 ^ {\ circ}}} = {\ frac {0 {,} 0053468} {1 ^ {\ circ}}}}}
за
θ
{\ displaystyle \ theta}
изразено в градуси;
|
б
|
=
Въ
φ
π
/
2
=
0.306
349
{\ displaystyle | b | = {\ frac {\ ln \ varphi} {\ pi / 2}} = 0 {,} 306349}
за
θ
{\ displaystyle \ theta}
изразен в радиани.
Приблизителна златна спирала
За много спирали се знае, че са приближения на златната спирала и често се бъркат с нея. Пример може да бъде спиралата на Фибоначи, която не е логаритмична спирала.
