Решетката в алгебраичния смисъл е алгебраична структура
(
А
,
∧
,
∨
)
,
{\ displaystyle (A, \ land, \ lor),}
където
А
{\ displaystyle A}
е (не празен) набор, a
∧
{\ displaystyle \ land}
и
∨
{\ displaystyle \ lor}
са картографиране на
А
×
А
{\ displaystyle A \ пъти A}
в
А
{\ displaystyle A}
удовлетворяващи за никого
х
,
ите
,
от
∈
А
{\ displaystyle x, y, z \ в A}
следните условия:
Пример за решетка е всяка булева алгебра.
Във всяка решетка се постига еквивалентността:
х
∨
ите
=
ите
⇔
х
∧
ите
=
х
,
{\ displaystyle x \ lor y = y \ Leftrightarrow x \ land y = x.}
история
⩽
,
{\ displaystyle \ leqslant,}
дефиниран чрез еквивалентност
х
⩽
ите
⇔
х
∨
ите
=
ите
{\ displaystyle x \ leqslant y \ Leftrightarrow x \ lor y = y}
е частичен ред, в който всяка двойка
х
,
ите
{\ displaystyle x, y}
има горна и долна граница:
вечерям
(
х
,
ите
)
=
х
∨
ите
,
INF
(
х
,
ите
)
=
х
∧
ите
,
{\ displaystyle \ sup (x, y) = x \ vee y, \ quad \ inf (x, y) = x \ klina y.}
Аксиома 1 традиционно е дадена в дефиницията на решетката, но произтича от аксиома 4:
нека
X
: =
х
∨
ите
,
{\ displaystyle X: = x \ lor y.}
След това под лявата част на Аксиома 4 получаваме
(
X
∧
ите
)
∨
ите
=
ите
{\ displaystyle (X \ земя y) \ lor y = y}
и по силата на правото:
X
∧
ите
=
ите
{\ displaystyle X \ land y = y}
която след заместване с предишната формула дава:
ите
∨
ите
=
ите
,
{\ displaystyle y \ lor y = y.}
По подобен начин доказва това
ите
∧
ите
=
ите
,
{\ displaystyle y \ land y = y.}
Решетката в смисъл на частични поръчки е (непразна) частична поръчка
(
А
,
⩽
)
,
{\ displaystyle (A, \ leqslant),}
в която всяка двойка
х
,
ите
{\ displaystyle x, y}
има долна граница
INF
(
х
,
ите
)
{\ displaystyle \ inf (x, y)}
и горна граница
вечерям
(
х
,
ите
)
,
{\ displaystyle \ sup (x, y).}
Ако дефинираме
х
∨
ите
: =
вечерям
(
х
,
ите
)
,
{\ displaystyle x \ lor y: = \ sup (x, y),}
х
∧
ите
: =
INF
(
х
,
ите
)
,
{\ displaystyle x \ land y: = \ inf (x, y),}
тогава ще получим решетка в алгебраичния смисъл, в което разбира се
х
⩽
ите
⇔
х
∨
ите
=
ите
,
