Множина Мандельброта
Множина Мандельброта — обмежена та зв'язна множина на комплексній площині, межа якої утворює фрактал. Множина Мандельброта це множина комплексних чисел
c
{\displaystyle c}
, для яких функція
f
c
(
z
)
=
z
2
+
c
{\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}
не розходиться, якщо її ітерувати від значення
z
=
0
{\displaystyle z=0}
, тобто, для якої послідовність
f
c
(
0
)
{\displaystyle f_{c}(0)}
,
f
c
(
f
c
(
0
)
)
{\displaystyle f_{c}(f_{c}(0))}
, і так далі, залишається обмеженою в абсолютному значенні. Названа на честь Бенуа Мандельброта, який вивчав і популяризував її.
Зображення множини Мандельброта можна створити шляхом вибірки комплексних чисел і тестування, для кожної точки вибірки
c
{\displaystyle c}
, чи послідовність
f
c
(
0
)
,
f
c
(
f
c
(
0
)
)
,
…
{\displaystyle f_{c}(0),f_{c}(f_{c}(0)),\dotsc }
прямує до нескінченності (на практиці перевіряють, чи залишає вона деякий визначений окіл 0 після визначеної кількості ітерацій). Якщо інтерпретувати дійсну і уявну частини числа
c
{\displaystyle c}
як координати зображення на площині комплексних чисел, то колір пікселя можна визначити відповідно до того, як швидко послідовність
|
f
c
(
0
)
|
,
|
f
c
(
f
c
(
0
)
)
|
,
…
{\displaystyle |f_{c}(0)|,|f_{c}(f_{c}(0))|,\dotsc }
перетинає довільно вибране порогове значення, де спеціальний колір (як правило чорний) використовують для значень
c
{\displaystyle c}
в яких послідовність не перетинає порогове значення після визначеної кількості ітерацій (це необхідно аби чітко розрізняти зображення множини Мандельброта від зображення її доповнення). Якщо
c
{\displaystyle c}
залишатиметься сталим, а замість того змінним буде початкове значення
z
{\displaystyle z}
— що позначається як
z
0
{\displaystyle z_{0}}
, буде отримано відповідну множину Жуліа для кожної точки
c
{\displaystyle c}
в просторі параметрів простої функції.
Точне значення площі множини Мандельброта невідоме. На 2012 рік вона оцінювалася як 1,506 591 884 9 ± 2,8×10−9. Точна координата центра мас (розташованого на осі абсцис) теж невідома і оцінюється як −0,286 768 420 48 ± 3,35×10−9.
