Лампочка Мандельброта - онлайн головоломки

Лампочка Мандельброта

Лампочка Мандельброта — тривимірний фрактал, аналог множини Мандельброта, створений Деніелом Вайтом та Полом Ніландером, з використанням гіперкомплесної алгебри що базується на сферичних координатах.Формула для n-того степеня тривимірного гіперкомплексного числа

⟨

x

,

y

,

z

⟩

{\displaystyle \langle x,y,z\rangle }

така:

⟨

x

,

y

,

z

⟩

n

=

r

n

⟨

cos

⁡

(

n

θ

)

cos

⁡

(

n

ϕ

)

,

sin

⁡

(

n

θ

)

cos

⁡

(

n

ϕ

)

,

sin

⁡

(

n

ϕ

)

⟩

{\displaystyle \langle x,y,z\rangle ^{n}=r^{n}\langle \cos(n\theta )\cos(n\phi ),\sin(n\theta )\cos(n\phi ),\sin(n\phi )\rangle }

де

r

=

x

2

+

y

2

+

z

2

θ

=

arctan

⁡

(

y

/

x

)

a

n

d

ϕ

=

arctan

⁡

(

z

/

x

2

+

y

2

)

=

arcsin

⁡

(

z

/

r

)

.

{\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\theta &=\arctan(y/x)\\{\rm {and\ }}\phi &=\arctan(z/{\sqrt {x^{2}+y^{2}}})=\arcsin(z/r).\end{aligned}}}

Вони використали ітерацію

z

↦

z

n

+

c

{\displaystyle z\mapsto z^{n}+c}

, де z та c — тривимірні гіперкомплексні числа, на яких операція піднесення до натурального степеня виконується як вказано вище. Для n > 3, результатом є тривимірний фрактал. Найчастіше використовують восьмий степінь.