Nablaoperatorn - pussel på nätet
Nablaoperatorn
Nablaoperatorn är en differentialoperator, betecknad med symbolen ∇, som används inom vektoranalysen. Symbolen är ett kortare och bekvämare tecken för den vektorlika operatorn (i tre dimensioner med kartesiska koordinater):
(
∂
∂
x
,
∂
∂
y
,
∂
∂
z
)
{\displaystyle \left({\cfrac {\partial }{\partial x}},{\cfrac {\partial }{\partial y}},{\cfrac {\partial }{\partial z}}\right)}
Symbolen introducerades av William Rowan Hamilton. Namnet nabla kommer från ett hebreiskt stränginstrument med liknande form.
Operatorn kan appliceras på skalärfält (φ) eller vektorfält (F = (Fx, Fy, Fz)), för att ge
Gradienten ∇φ, även kallat grad φ
∇
ϕ
=
(
∂
ϕ
∂
x
,
∂
ϕ
∂
y
,
∂
ϕ
∂
z
)
{\displaystyle \nabla \phi =\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}},{\frac {\partial \phi }{\partial y}},{\frac {\partial \phi }{\partial z}}\right)}
Divergensen ∇⋅F, även kallat div F
∇
⋅
F
=
∂
F
x
∂
x
+
∂
F
y
∂
y
+
∂
F
z
∂
z
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}}
Rotationen ∇×F, även kallat rot F
∇
×
F
=
|
e
x
e
y
e
z
∂
∂
x
∂
∂
y
∂
∂
z
F
x
F
y
F
z
|
=
(
∂
F
z
∂
y
−
∂
F
y
∂
z
,
∂
F
x
∂
z
−
∂
F
z
∂
x
,
∂
F
y
∂
x
−
∂
F
x
∂
y
)
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\left\vert {\begin{matrix}e_{x}&e_{y}&e_{z}\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{matrix}}\right\vert =\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}},{\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}},{\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)}
Om man kombinerar gradient och divergens får man Laplaceoperatorn, vilken betecknas med nablaoperatorn i kvadrat, ∇2 alternativt Δ:
Δ
ϕ
=
∇
2
ϕ
=
∇
⋅
∇
ϕ
=
∂
2
ϕ
∂
x
2
+
∂
2
ϕ
∂
y
2
+
∂
2
ϕ
∂
z
2
{\displaystyle \Delta \phi =\nabla ^{2}\phi =\nabla \cdot \nabla \phi ={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}}
Samt för vektorfält:
Δ
F
=
∇
2
F
=
∇
(
∇
⋅
F
)
−
∇
×
(
∇
×
F
)
{\displaystyle \Delta \mathbf {F} =\nabla ^{2}\mathbf {F} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )}
