Умноже́ние — одна из основных математических операций над двумя аргументами, которые называются множителями или сомножителями (иногда первый аргумент называют множимым, а второй множителем). Результат умножения называется их произведением.
Для натуральных чисел умножение определяется как многократное сложение — чтобы умножить число
a
{\displaystyle a}
на число
b
{\displaystyle b}
, надо сложить
b
{\displaystyle b}
чисел
a
{\displaystyle a}
(умножение далее обозначено приподнятой точкой между сомножителями):
a
⋅
b
=
a
+
a
+
⋯
+
a
⏟
b
{\displaystyle a\cdot b=\underbrace {a+a+\cdots +a} _{b}}
.Умножение можно распространить и на другие типы чисел — на целые, рациональные, вещественные, комплексные путём систематического обобщения.
В современной математике умножение определяется не только для чисел, оно имеет различный конкретный смысл и соответственно различные определения и свойства для различных математических объектов.
Умножение чисел является коммутативной операцией, то есть порядок записи чисел-множителей не влияет на результат их умножения.
Например, умножение чисел
3
{\displaystyle 3}
и
5
{\displaystyle 5}
может быть записано как
3
⋅
5
{\displaystyle 3\cdot 5}
, так и
5
⋅
3
{\displaystyle 5\cdot 3}
(произносится также «пятью три», «трижды пять»), и результатом в любом случае является число
15
{\displaystyle 15}
. Проверка через сложение:
3
+
3
+
3
+
3
+
3
⏟
5
=
15
{\displaystyle \underbrace {3+3+3+3+3} _{5}=15}
,
5
+
5
+
5
⏟
3
=
15
{\displaystyle \underbrace {5+5+5} _{3}=15}
.Умножение нечисловых математических, физических и абстрактных величин (например, матриц, векторов, множеств, кватернионов и т. д.) не всегда является коммутативной операцией. При умножении физических величин важную роль играет их размерность.
Изучение общих свойств операции умножения входит в задачи общей алгебры, в частности теории групп и колец.
