Оболочка Мандельброта - онлайн головоломки

Оболочка Мандельброта

Оболочка Мандельброта — трёхмерный фрактал, аналог множества Мандельброта, созданный Дэниелом Уайтом и Полом Ниландером с использованием гиперкомплексной алгебры, основанной на сферических координатах. Назван в честь создателя фрактальной геометрии Бенуа Мандельброта.

Формула для n-й степени трёхмерного гиперкомплексного числа

⟨

x

,

y

,

z

⟩

{\displaystyle \langle x,y,z\rangle }

следующая:

⟨

x

,

y

,

z

⟩

n

=

r

n

⟨

cos

⁡

(

n

θ

)

cos

⁡

(

n

ϕ

)

,

sin

⁡

(

n

θ

)

cos

⁡

(

n

ϕ

)

,

sin

⁡

(

n

ϕ

)

⟩

,

{\displaystyle \langle x,y,z\rangle ^{n}=r^{n}\langle \cos(n\theta )\cos(n\phi ),\sin(n\theta )\cos(n\phi ),\sin(n\phi )\rangle ,}

где

r

=

x

2

+

y

2

+

z

2

,

θ

=

arctan

⁡

(

y

/

x

)

,

ϕ

=

arctan

⁡

(

z

/

x

2

+

y

2

)

=

arcsin

⁡

(

z

/

r

)

.

{\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\\\theta &=\arctan(y/x),\\\phi &=\arctan \left(z/{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)=\arcsin(z/r).\end{aligned}}}

Была использована итерация

z

↦

z

n

+

c

{\displaystyle z\mapsto z^{n}+c}

, где z и c — трёхмерные гиперкомплексные числа, на которых операция возведения в натуральную степень выполняется так, как это указано выше.

Для n > 3 результатом является трёхмерный фрактал. Чаще всего используется восьмая степень.