Золотое сечение
Золотое сечение (золотая пропорция, иначе: деление в крайнем и среднем отношении, гармоническое деление) — отношение частей и целого, при котором отношения частей между собой и наибольшей части к целому равны. Такие отношения наблюдаются в природе, открыты в науке и соблюдаются в искусстве. На «золотых отрезках» основываются различные системы и способы пропорционирования в архитектуре. Соотношение двух величин
a
a
и
b
b
, при котором бо́льшая величина относится к меньшей так же, как сумма этих величин к бо́льшей, то есть
a
b
=
a
+
b
a
{\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}}
, является универсальным. Отсюда название, которое впервые появилось в эпоху Возрождения, в частности в трактате францисканского монаха, математика Луки Пaчоли Божественная пропорция (лат. De Divina Proportione (1509), но закономерность подобных отношений была известна гораздо раньше: в Древней Месопотамии, Египте и античной Греции.
Исторически в древнегреческой математике золотым сечением именовалось деление отрезка
A
B
AB
точкой
C
C
на две части так, что бо́льшая часть относится к меньшей, как весь отрезок к большей:
B
C
A
C
=
A
B
B
C
{\displaystyle {\frac {BC}{AC}}={\frac {AB}{BC}}}
. Это понятие было распространено на произвольные величины.
Число, равное отношению
a
/
b
a/b
, обычно обозначается прописной греческой буквой
Φ
\Phi
(фи), в честь древнегреческого скульптора и архитектора Фидия, реже — греческой буквой
τ
\tau
(тау).
Из исходного равенства (например, принимая AB за 1, AC за неизвестную переменную y и BC за x, решая получившуюся систему уравнений x+y=1; x/y=1/x)
Обратное число, обозначаемое строчной буквой
φ
\varphi
,
φ
=
1
Φ
=
5
−
1
2
=
e
−
0
,
2
i
π
+
e
0
,
2
i
π
=
e
−
0
,
2
ln
−
1
+
e
0
,
2
ln
−
1
=
(
−
1
)
−
0
,
2
+
(
−
1
)
0
,
2
=
1
−
1
5
+
−
1
5
=
2
R
(
−
1
5
)
≈
0
,
61803
{\displaystyle \varphi ={\frac {1}{\Phi }}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}=e^{-0,2i\pi }+e^{0,2i\pi }=e^{-0,2\ln -1}+e^{0,2\ln -1}=(-1)^{-0,2}+(-1)^{0,2}={\frac {1}{\sqrt[{5}]{-1}}}+{\sqrt[{5}]{-1}}=2{\mathfrak {R}}({\sqrt[{5}]{-1}})\approx 0,61803}
Отсюда следует, что
φ
=
Φ
−
1
\varphi =\Phi -1
.Число
Φ
\Phi
называется также золотым числом.
Для практических целей ограничиваются приблизительным значением
Φ
\Phi
≈ 1,618 или
Φ
\Phi
≈ 1,62. В процентном округлённом значении золотое сечение — это деление величины в отношении 62 % и 38 %.
Золотое сечение имеет множество замечательных свойств (например,
Φ
\Phi
2 =
Φ
\Phi
+ 1), но, кроме того, ему приписывают и многие вымышленные свойства.
