Вычита́ние (убавление) — одна из вспомогательных бинарных математических операций (арифметических действий) двух аргументов (уменьшаемого и вычитаемого), результатом которой является новое число (разность), получаемое уменьшением значения первого аргумента на значение второго аргумента. На письме обычно обозначается с помощью знака «минус»:
a
−
b
=
c
{\displaystyle a-b=c}
. Вычитание — операция обратная сложению.
В общем виде можно записать:
S
¯
(
a
,
b
)
=
c
{\displaystyle {\overline {S}}(a,b)=c}
, где
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
и
b
∈
A
{\displaystyle b\in A}
. То есть каждой паре элементов
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
из множества
A
{\displaystyle A}
ставится в соответствие элемент
c
=
a
−
b
{\displaystyle c=a-b}
, называемый разностью
a
{\displaystyle a}
и
b
{\displaystyle b}
.Вычитание возможно только, если оба аргумента принадлежат одному множеству элементов (имеют одинаковый тип).
При наличии отрицательных чисел, вычитание удобно рассматривать (и определять) как разновидность сложения — сложение с отрицательным числом. К примеру,
5
−
2
=
3
{\displaystyle 5-2=3}
можно рассматривать как сложение:
5
+
(
−
2
)
=
3
{\displaystyle 5+(-2)=3}
.
На множестве вещественных чисел область значений функции сложения графически имеет вид плоскости проходящей через начало координат и наклоненной к осям на 45° угловых градусов.
У вычитания есть несколько важных свойств (например для
A
=
{\displaystyle A=}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
):
Антикоммутативность:
a
−
b
=
−
(
b
−
a
)
,
∀
a
,
b
∈
A
.
{\displaystyle a-b=-(b-a),\quad \forall a,b\in \ A.}
Неассоциативность:
(
a
−
b
)
−
c
≠
a
−
(
b
−
c
)
,
∃
a
,
b
,
c
∈
A
.
{\displaystyle (a-b)-c\neq a-(b-c),\quad \exists a,b,c\in \ A.}
Дистрибутивность:
x
⋅
(
a
−
b
)
=
(
x
⋅
a
)
−
(
x
⋅
b
)
,
∀
a
,
b
∈
A
.
{\displaystyle x\cdot (a-b)=(x\cdot a)-(x\cdot b),\quad \forall a,b\in \ A.}
Вычитание
0
{\displaystyle 0}
(нулевого элемента) даёт число равное исходному:
x
−
0
=
x
,
∀
x
∈
A
,
∃
0
∈
A
.
{\displaystyle x-0=x,\quad \forall x\in A,\quad \exists 0\in A.}
В качестве примера, на картинке справа запись
5
−
2
=
3
{\displaystyle 5-2=3}
обозначает пять яблок вычесть два яблока, что в результате дает три яблока. Заметим, что нельзя вычесть например из 5 яблок 2 груши. Помимо счета яблок, вычитание также может представлять разность других физических и абстрактных величин, таких как: отрицательные числа, дробные числа, векторы, функции, и другие.
