Cubul Menger, burete Menger - bloc fractal, echivalent tridimensional al colecției Cantor și covorul Sierpinski. Dimensiunea fractală a cubului Menger este:
log320 = ln 20 / ln 3 ≈ 2.726833. Structura cubului a fost dată de matematicianul austriac Karl Menger în 1927.
Construcție
Cubul Menger este format după cum urmează:
Se dă un cub
Îl tăiem în 27 de cuburi de dimensiuni egale cu planuri paralele cu pereții
Îndepărtăm toate cuburile adiacente centrului pereților cubului inițial și cubul din centrul acestuia
Folosim procedura anterioară pentru fiecare dintre cei 20 de cuburi rămași. După un număr infinit de repetări ale operațiilor descrise, obținem un cub Menger.
Următorul pseudo-cod, care este o implementare recursivă a cubului Menger, este adesea folosit în multe limbaje de programare, cu:
n - complexitate - un număr întreg non-negativ,
x, y, z - coordonatele centrului,
d - lungimea muchiei: Menger (n, x, y, z, d):
dacă n = 0
creați un cub (x, y, z, d)
altfel
pentru i = {- 1.0,1}
pentru j = {- 1.0,1}
pentru k = {- 1.0,1}
if (i * i + j * j) * (i * i + k * k) * (j * j + k * k)> 0
până la Menger (n-1, x + i * d / 3, y + j * d / 3, z + k * d / 3, d / 3)
Proprietăți
Fiecare perete de cub este un covor Sierpinski. Diagonala cubului este un set Cantor. Cubul este un subset compact al spațiului euclidian, iar măsura lui Lebesgue este 0.
Definiții formale
Definiție recursivă
Definiția precisă a cubului Menger este următoarea:
M
: =
⋂
n
∈
N
M
n
{\ displaystyle M: = \ bigcap _ {n \ in \ mathbb {N}} M_ {n}}
unde M0 înseamnă cub {(x, y, z): 0 ≤ x, y, z ≤ 1}
M
n
+
1
: =
{
(
x
.
s
.
din
)
∈
R
3
:
∃
și
.
j
.
k
∈
{
0
.
1
.
2
}
:
(
3
x
-
și
.
3
s
-
j
.
3
din
-
k
)
∈
M
n
și cel mult unul dintre numere
și
.
j
.
k
este egal cu 1
}
{\ displaystyle M_ {n + 1}: = \ left \ {(x, y, z) \ in \ mathbb {R} ^ {3}: \ {\ existe i, j, k \ in \ {0,1, 2 \} :( 3x-i, 3y-j, 3z-k) \ in M_ {n} \ atop {{mbox {și cel mult unul dintre numere}} i, j, k {\ mbox {este egal cu 1 }}} \ dreapta \}}
Definiție nerecursivă
Puteți defini, de asemenea, un cub Menger într-un mod echivalent, fără a folosi recursiv:
Cubul Menger este închiderea unui set de puncte (x, y, z), astfel încât 0 ≤ x, y, z ≤ 1 și în expansiune infinită a coordonatelor x, y, cu un sistem de numere de trei cifre, nicăieri numărul 1 nu apare mai mult de o dată în aceeași poziție.
Exactul cub Sierpinski
Cubul lui Menger nu este echivalentul exact al cubului lui Sierpinski. Folosind exact logica construcției bidimensionale a covorului
în trei dimensiuni, numai cubul central redus fără cuburi laterale trebuie îndepărtat cu fiecare recurs.
În caz contrar, covorul nu trebuie eliminat nici unul, ci cinci pătrate care formează împreună crucea greacă.
