Mandelbulb este o fractură tridimensională, construită de Daniel White și Paul Nylander folosind coordonate sferice în 2009. Un set canelical de 3 dimensiuni Mandelbrot nu există, deoarece nu există un analog tridimensional al spațiului bidimensional al numerelor complexe.. Este posibil să se construiască seturi Mandelbrot în 4 dimensiuni folosind cuaternii și numere bicomplex.
Formula albă și Nylander pentru „a noua putere” a vectorului
v
=
⟨
X
.
y
.
z
⟩
{\ displaystyle {\ mathbf {v}} = \ langle x, y, z \ rangle}
în ℝ3 este
v
n
: =
r
n
⟨
păcat
(
n
θ
)
cos
(
n
φ
)
.
păcat
(
n
θ
)
păcat
(
n
φ
)
.
cos
(
n
θ
)
⟩
{\ displaystyle {\ mathbf {v}} ^ {n}: = r ^ {n} \ langle \ sin (n \ theta) \ cos (n \ phi), \ sin (n \ theta) \ sin (n \ phi), \ cos (n \ theta) \ rangle}
Unde
r
=
X
2
+
y
2
+
z
2
{\ displaystyle r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}}
.
φ
=
arctan
(
y
/
X
)
=
arg
(
X
+
y
eu
)
{\ displaystyle \ phi = \ arctan (y / x) = \ arg (x + yi)}
, și
θ
=
arctan
(
X
2
+
y
2
/
z
)
=
arccos
(
z
/
r
)
{\ displaystyle \ theta = \ arctan ({\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} / z) = \ arccos (z / r)}
. Mandelbulb este apoi definit ca setul celor
c
{\ displaystyle {\ mathbf {c}}}
în ℝ3 pentru care orbita de
⟨
0
.
0
.
0
⟩
{\ displaystyle \ langle 0,0,0 \ rangle}
sub iterație
v
↦
v
n
+
c
{\ displaystyle {\ mathbf {v}} \ mapsto {\ mathbf {v}} ^ {n} + {\ mathbf {c}}}
este delimitat. Pentru n> 3, rezultatul este o structură tridimensională în formă de bec cu detalii de suprafață fractală și un număr de „lobi” în funcție de n. Multe dintre randările lor grafice folosesc n = 8. Cu toate acestea, ecuațiile pot fi simplificate în polinomii raționale atunci când n este impar. De exemplu, în cazul n = 3, a treia putere poate fi simplificată în forma mai elegantă:
⟨
X
.
y
.
z
⟩
3
=
⟨
(
3
z
2
-
X
2
-
y
2
)
X
(
X
2
-
3
y
2
)
X
2
...
