Qualquer superfície é de um dos tipos seguintes:
uma esfera à qual foram coladas
g
{\displaystyle g}
ansas;
uma esfera à qual foram colados
g
{\displaystyle g}
planos projectivos.Ao número g chama-se o género da superfície. No primeiro caso, a superfície é orientável e no segundo a superfície é não orientável.
A característica de Euler da superfície é dada no primeiro caso por
χ
=
2
−
2
g
{\displaystyle \chi =2-2g}
e no segundo por
χ
=
2
−
g
.
{\displaystyle \chi =2-g.}
Se z = f(x,y), e se x e y são variáveis independentes, então a plotagem cartesiana de x contra y contra z irá resultar em uma superfície aberta, que se extende por todo o domínio e imagem da função. A área de um trecho dessa superfície que esteja contido num retângulo dado por x1, x2, y1 e y2 pode ser determinada através do seguinte método: a cada ponto (x, y, f(x,y)) da superfície, pode ser associado um vetor r =
L
1
=<
d
x
,
0
,
f
(
x
+
d
x
,
y
)
−
f
(
x
,
y
)
>
{\displaystyle L1=
L
2
=<
0
,
d
y
,
f
(
x
,
y
+
d
y
)
−
f
(
x
,
y
)
>
{\displaystyle L2=<0,dy,f(x,y+dy)-f(x,y)>}
Ou, alternativamente,
L
1
=<
1
,
0
,
f
(
x
+
d
x
,
y
)
−
f
(
x
,
y
)
d
x
>
d
x
{\displaystyle L1=<1,0,{f(x+dx,y)-f(x,y) \over dx}>dx}
L
2
=<
0
,
1
,
f
(
x
,
y
+
d
y
)
−
f
(
x
,
y
)
d
y
>
d
y
{\displaystyle L2=<0,1,{f(x,y+dy)-f(x,y) \over dy}>dy}
Mas isso recai na definição de derivada parcial, tal que
L
1
=<
1
,
0
,
f
x
>
d
x
{\displaystyle L1=<1,0,f_{x}>dx}
L
2
=<
0
,
1
,
f
y
>
d
y
{\displaystyle L2=<0,1,f_{y}>dy}
Como já foi dito, a área do paralelogramo infinitesimal será dada pelo módulo do produto vetorial de L1 por L2:
a
=
|
|
L
1
x
L
2
|
|
=
|
|
<
1
,
0
,
f
x
>
d
x
×
<
0
,
1
,
f
y
>
d
y
|
|
{\displaystyle a=||L1xL2||=||<1,0,f_{x}>dx\times <0,1,f_{y}>dy||}
a
=
|
|
<
−
f
x
,
−
f
y
,
1
>
|
|
d
x
d
y
{\displaystyle a=||<-f_{x},-f_{y},1>||dxdy}
a
=
f
x
2
+
f
y
2
+
1
d
x
d
y
{\displaystyle a={\sqrt {f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1}}dxdy}
E a área de toda a porção da superfície que está contida nesse intervalo nada mais será que o somatório de todas as áreas infinitesimais:
A
=
∑
a
=
∫
y
1
y
2
∫
x
1
x
2
f
x
2
+
f
y
2
+
1
d
x
d
y
{\displaystyle A=\sum a=\int \limits _{y_{1}}^{y_{2}}\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1}}dxdy}
Alternativamente, uma superfície pode ser descrita plotando-se não uma, mas três funções de duas variáveis independentes cada umas contra as outras, igualando-se os eixos x, y e z cada um a uma função.
