O raio é a metade do diâmetro de uma circunferência. Pode ser definido também como a distância do centro a um ponto qualquer da circunferência.
Analogamente também se define o raio de uma esfera.
Sendo d o diâmetro e r o raio;
d
=
2
r
⇒
r
=
d
2
{\displaystyle d=2r\quad \Rightarrow \quad r={\frac {d}{2}}}
Fórmulas
Para várias figuras geométricas, o raio tem uma relação bem definida com outras medidas.
Círculos
O raio de um círculo com área A é
r
=
A
π
.
{\displaystyle r={\sqrt {\frac {A}{\pi }}}.}
O raio de um círculo que conecta três pontos P1, P2 and P3 é dado por
r
=
|
P
1
−
P
3
|
2
sin
θ
,
{\displaystyle r={\frac {|P_{1}-P_{3}|}{2\sin \theta }},}
onde θ é o ângulo
∠
P
1
P
2
P
3
{\displaystyle \angle P_{1}P_{2}P_{3}}
. Essa fórmula usa a lei dos senos.
Se os três pontos são dados por suas coordenadas
(
x
1
,
y
1
)
{\displaystyle (x_{1},y_{1})}
,
(
x
2
,
y
2
)
{\displaystyle (x_{2},y_{2})}
e
(
x
3
,
y
3
)
{\displaystyle (x_{3},y_{3})}
, o raio pode ser expressado por
r
=
(
(
x
2
−
x
1
)
2
+
(
y
2
−
y
1
)
2
)
(
(
x
2
−
x
3
)
2
+
(
y
2
−
y
3
)
2
)
(
(
x
3
−
x
1
)
2
+
(
y
3
−
y
1
)
2
)
2
|
x
1
y
2
+
x
2
y
3
+
x
3
y
1
−
x
1
y
3
−
x
2
y
1
−
x
3
y
2
|
.
{\displaystyle r={\frac {\sqrt {\left(\left({\it {x_{2}}}-{\it {x_{1}}}\right)^{2}+\left({\it {y_{2}}}-{\it {y_{1}}}\right)^{2}\right)\left(\left({\it {x_{2}}}-{\it {x_{3}}}\right)^{2}+\left({\it {y_{2}}}-{\it {y_{3}}}\right)^{2}\right)\left(\left({\it {x_{3}}}-{\it {x_{1}}}\right)^{2}+\left({\it {y_{3}}}-{\it {y_{1}}}\right)^{2}\right)}}{2\left|{\it {x_{1}}}\,{\it {y_{2}}}+{\it {x_{2}}}\,{\it {y_{3}}}+{\it {x_{3}}}\,{\it {y_{1}}}-{\it {x_{1}}}\,{\it {y_{3}}}-{\it {x_{2}}}\,{\it {y_{1}}}-{\it {x_{3}}}\,{\it {y_{2}}}\right|}}.}
Propriedades
O raio r e o comprimento c de uma circunferência relacionam-se por c = 2πr (lê-se: comprimento é igual a dois pi raio).
O teorema dos senos afirma que num triângulo de lados a, b e c inscrito numa circunferência de raio r se tem
a
s
e
n
A
^
=
b
s
e
n
B
^
=
c
s
e
n
C
^
=
2
r
{\displaystyle {\frac {a}{\mathrm {sen} \,{\widehat {A}}}}={\frac {b}{\mathrm {sen} \,{\widehat {B}}}}={\frac {c}{\mathrm {sen} \,{\widehat {C}}}}=2r}
Outros significados
O termo raio se aplica também a outras figuras, dependendo do seu sentido e contexto.
