Hélice (geometria)
Na geometria, a hélice ou hélix (plural: hélices) (do grego έλικας/έλιξ, hélix) é uma forma tridimensional que pode ser encontrada em molas e na chamada 'rosca' de parafusos e porcas. Na natureza, pode ser encontrada em alguns vegetais, sob a forma de gavinha, e no DNA.
Em matemática, a hélice é descrita como uma curva no espaço tridimensional que combina um movimento de rotação em torno de um ponto com um movimento de translação deste ponto. As três equações a seguir definem uma hélice em coordenadas retangulares:
x
=
cos
(
t
)
,
{\displaystyle x=\cos(t),\,}
y
=
sin
(
t
)
,
{\displaystyle y=\sin(t),\,}
z
=
t
.
{\displaystyle z=t.\,}
Em coordenadas cilíndricas (r,
θ
{\displaystyle \theta }
, h), a mesma hélice é descrita por:
r
=
1
,
{\displaystyle r=1,\,}
θ
=
t
,
{\displaystyle \theta =t,\,}
h
=
t
.
{\displaystyle h=t.\,}
Uma hélice circular é definida quando os parâmetros de x(t) e y(t), para coordenadas retangulares, possuem a mesma frequência angular e são multiplicadas pela mesma constante. Dessa forma, a função no eixo x e no eixo y, devem formar uma projeção de um círculo no plano xy. A função no eixo z descreve o sentido que a hélice se orienta, "subindo" ou "descendo". Caso a constante que multiplica a variável t seja positiva, a hélice "sobe" ao longo do tempo, e caso seja negativa, a hélice " desce" ao longo do tempo. O passo de uma hélice pode ser calculado como a constante c multiplicada por 2π, a distância entre duas voltas consecutivas. Para exemplificar, iremos utilizar a função paramétrica abaixo:
x
(
t
)
=
a
c
o
s
t
,
y
(
t
)
=
a
s
e
n
t
,
z
(
t
)
=
c
t
(
a
>
0
,
c
>
0
)
.
{\displaystyle x(t)=acost,y(t)=asent,z(t)=ct(a>0,c>0).}
r
→
(
t
)
=
a
c
o
s
(
t
)
i
→
+
a
s
e
n
(
t
)
j
→
+
c
t
{\displaystyle {\vec {r}}(t)=acos(t){\vec {i}}+asen(t){\vec {j}}+ct}
t
=
0
,
r
→
(
0
)
=
a
i
→
{\displaystyle t=0,{\vec {r}}(0)=a{\vec {i}}}
t
=
π
/
2
,
r
→
(
π
/
2
)
=
a
j
→
+
c
π
/
2
k
→
{\displaystyle t=\pi /2,{\vec {r}}(\pi /2)=a{\vec {j}}+c\pi /2{\vec {k}}}
t
=
π
,
r
→
(
π
)
=
−
a
i
→
+
c
π
k
→
{\displaystyle t=\pi ,{\vec {r}}(\pi )=-a{\vec {i}}+c\pi {\vec {k}}}
t
=
3
π
/
2
,
r
→
(
3
π
/
2
)
=
−
a
j
→
+
c
3
π
/
2
k
→
{\displaystyle t=3\pi /2,{\vec {r}}(3\pi /2)=-a{\vec {j}}+c3\pi /2{\vec {k}}}
t
=
2
π
,
r
→
(
2
π
)
=
a
i
→
+
c
2
π
k
→
{\displaystyle t=2\pi ,{\vec {r}}(2\pi )=a{\vec {i}}+c2\pi {\vec {k}}}
