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Em matemática, especialmente na teoria da ordem e em álgebra, um reticulado é uma estrutura L = (L, R) tal que L é parcialmente ordenado por R e para cada dois elementos a, b de L existe supremo (menor limite superior) e ínfimo (maior limite inferior) de {a,b}.
Reticulados como estruturas algébricas
De maneira equivalente, um reticulado pode ser definido como uma estrutura algébrica.
Uma estrutura algébrica (L,
∨
,
∧
{\displaystyle \lor,\land }
), consistindo de um conjunto L e duas operações
∨
{\displaystyle \lor }
, and
∧
{\displaystyle \land }
, sobre L é um reticulado se para todos os elementos a, b, c de L valem as seguintes equações, que podem ser vistas como axiomas da teoria dos reticulados.
As identidades seguintes as vezes também são vistas como axiomas, apesar de poder ser facilmente deduzidas usando as duas leis de absorção.
Leis de Idempotência
a
∨
a
=
a
{\displaystyle a\lor a=a}
,
a
∧
a
=
a
{\displaystyle a\land a=a}
.
Exemplos
Seja
A
{\displaystyle A^{\,}}
um conjunto não vazio e
P
(
A
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}\left(A^{\,}\right)}
o conjunto potência ou conjunto das partes de
A
{\displaystyle A^{\,}}
. Além disso, seja
⊆
{\displaystyle \subseteq ^{\,}}
a relação de inclusão de conjuntos. Então
⟨
P
(
A
)
,
⊆
⟩
{\displaystyle \left\langle {\mathcal {P}}\left(A\right),\subseteq \right\rangle }
é um reticulado no qual o supremo está representado pela união de conjuntos e o ínfimo pela interseção.Seja
⟨
A
,
≤
⟩
{\displaystyle \left\langle A,\leq \right\rangle }
um conjunto totalmente ordenado, isto é,
≤
{\displaystyle \leq ^{\,}}
é uma relação de ordem total. O supremo de dois elementos é o maior deles e o ínfimo é o menor.
Semirreticulados
Um semirreticulado superior é um conjunto parcialmente ordenado em que existe supremo para quaisquer dois elementos a,b.
