Espiral dourada - um caso especial de uma espiral logarítmica na qual um coeficiente
b
{\ displaystyle b}
é uma constante, dependendo
φ
{\ displaystyle \ varphi}
(onde
φ
{\ displaystyle \ varphi}
é o "número dourado"). Uma característica da espiral dourada é que a cada 90 ° sua largura aumenta (ou diminui) exatamente
φ
{\ displaystyle \ varphi}
vezes.
Padrão
Fórmulas gerais para espiral logarítmica em coordenadas polares:
r
=
e
e
b
θ
{\ displaystyle r = ae ^ {b \ theta}}
e
θ
=
1
b
ln
(
r
/
e
)
.
{\ displaystyle \ theta = {\ frac {1} {b}} \ ln (r / a),}
(onde
e
{\ displaystyle e}
- a base dos logaritmos naturais) também se aplica à espiral dourada. Neste caso
θ
{\ displaystyle \ theta}
é um ângulo reto
b
{\ displaystyle b}
é uma constante real, enquanto
r
/
e
=
φ
{\ displaystyle r / a = \ varphi}
(onde
φ
{\ displaystyle \ varphi}
é o "número dourado"). Daí a fórmula:
e
b
θ
=
φ
.
{\ displaystyle e ^ {b \ theta} = \ varphi.}
valor
b
{\ displaystyle b}
é expresso pela fórmula:
b
=
ln
φ
θ
.
{\ displaystyle b = {\ frac {\ ln {\ varphi}} {\ theta}}.}
valor
b
{\ displaystyle b}
pode ser positivo ou negativo, dependendo da direção em que o ângulo reto é direcionado
θ
.
{\ displaystyle \ theta.}
Valor absoluto de
b
{\ displaystyle b}
é:
|
b
|
=
ln
φ
90
∘
=
0,005
3468
1
∘
{\ displaystyle | b | = {\ frac {\ ln \ varphi} {90 ^ {\ circ}}} = {\ frac {0 {,} 0053468} {1 ^ {\ circ}}}}
para
θ
{\ displaystyle \ theta}
expresso em graus;
|
b
|
=
ln
φ
π
/
2
=
0,306
349
{\ displaystyle | b | = {\ frac {\ ln \ varphi} {\ pi / 2}} = 0 {,} 306349}
para
θ
{\ displaystyle \ theta}
expresso em radianos.
Espiral dourada aproximada
Sabe-se que muitas espirais são aproximações da espiral dourada e muitas vezes são confundidas com ela. Um exemplo seria a espiral de Fibonacci, que não é uma espiral logarítmica.
