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Puzzle online Conjunto de Mandelbrot
Conjunto de Mandelbrot
Em matemática, conjunto de Mandelbrot é um fractal definido como o conjunto de pontos c no plano complexo para o qual a sucessão (sequência, no Brasil) definida recursivamente:
z
0
=
0
{\displaystyle z_{0}=0\,}
z
n
+
1
=
z
n
2
+
c
{\displaystyle z_{n+1}={z_{n}}^{2}+c}
não tende ao infinito.
Para cada ponto c do plano complexo, a sequência se expande como:
c
=
x
+
i
y
{\displaystyle c=x+iy\,}
Z
0
=
0
{\displaystyle Z_{0}=0\,}
Z
1
=
Z
0
2
+
c
=
x
+
i
y
{\displaystyle {\begin{matrix}Z_{1}&=&Z_{0}^{2}+c\\\ &=&x+iy\end{matrix}}\,}
Z
2
=
Z
1
2
+
c
=
(
x
+
i
y
)
2
+
x
+
i
y
=
x
2
+
2
i
x
y
−
y
2
+
x
+
i
y
=
x
2
−
y
2
+
x
+
(
2
x
y
+
y
)
i
{\displaystyle {\begin{matrix}Z_{2}&=&Z_{1}^{2}+c\\\ &=&(x+iy)^{2}+x+iy\\\ &=&x^{2}+2ixy-y^{2}+x+iy\\\ &=&x^{2}-y^{2}+x+(2xy+y)i\end{matrix}}\,}
Z
3
=
Z
2
2
+
c
=
.
.
.
{\displaystyle Z_{3}=Z_{2}^{2}+c=...\,}
e assim por diante.
Se reescrevermos a sequência em termos das partes real e imaginária (coordenadas x e y do plano complexo), a cada iteração n, substituindo zn pelo ponto xn + yni e c pelo ponto a + bi, temos:
x
n
+
1
=
x
n
2
−
y
n
2
+
a
{\displaystyle x_{n+1}={x_{n}}^{2}-{y_{n}}^{2}+a\,}
e
y
n
+
1
=
2
x
n
y
n
+
b
{\displaystyle y_{n+1}=2{x_{n}}{y_{n}}+b\,}
O conjunto de Mandelbrot, em sua representação gráfica, pode ser dividido em um conjunto infinito de figuras pretas, sendo a maior delas um cardióide localizado ao centro do plano complexo. Existe uma infinidade (contável) de quase-círculos (o maior deles é a única figura que, de fato, é um círculo exato e localiza-se à esquerda do cardióide) que tangenciam o cardióide e variam de tamanho com raio tendendo assintoticamente a zero.
Cada um desses círculos tem seu próprio conjunto infinito (contável) de pequenos círculos cujos raios também tendem assintoticamente a zero. Esse processo se repete infinitamente, gerando uma figura fractal que roda em varios graus de rotação anti horário e a figura se move como na sequência abaixo, dos destaques ampliados:
Quando se explora o Conjunto de Mandelbrot com mais resolução (fazendo «zoom») encontram-se sempre réplicas e mais réplicas do conjunto ad infinitum. É uma característica dos objectos fractais. Só a limitada precisão das computações possíveis faz com que, a partir de certa altura, isso deixe de acontecer.