Circle K - puzzles online

Na geometria, um círculo ou disco é o conjunto dos pontos internos de uma circunferência. Por vezes, também se chama círculo o conjunto de pontos cuja distância ao centro é menor ou igual a um dado valor (ao qual chamamos raio). A área

A

{\displaystyle A}

de um círculo pode ser expressa matematicamente por:

A

=

π

×

r

2

{\displaystyle A=\pi \times r^{2}}

onde

r

{\displaystyle r}

é o raio da circunferência e

π

{\displaystyle \pi }

(Pi) uma constante.

1ª Demonstração

Considere-se uma sucessão de polígonos regulares inscritos na circunferência. A área de cada um desses polígonos é dada por

S

=

p

⋅

a

{\displaystyle S=p\cdot a}

, onde

p

{\displaystyle p}

é o semiperímetro do polígono e

a

{\displaystyle a}

é o seu apótema. À medida que o número de lados do polígono aumenta,

p

{\displaystyle p}

converge para a metade do comprimento da circunferência (

π

R

{\displaystyle \pi R}

) e

a

{\displaystyle a}

converge para o raio (

R

{\displaystyle R}

). Assim

S

{\displaystyle S}

converge para

π

R

⋅

R

=

π

R

2

{\displaystyle \pi R\cdot R=\pi R^{2}}

. Por outro lado, à medida que o número de lados do polígono cresce, a sua área converge para a área do círculo. Conclui-se assim que a área do círculo é

π

R

2

{\displaystyle \pi R^{2}}

.

2ª Demonstração

Seja f uma semicircunferência tal que:

f

(

x

)

=

R

2

−

x

2

{\displaystyle f(x)={\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}

Para calcular a área de um círculo, basta que calculemos a área abaixo do gráfico de uma semicircunferência e dobremo-la.