Surface - puzzle online

Puzzle online Surface

Powierzchnia – zbiór punktów ( miejsce geometryczne) o tej własności, iż można wokół każdego jej punktu zbudować (niewielką) sferę, która w przecięciu z tym zbiorem daje jedynie obiekty jednowymiarowe (krzywe). Jest to trójwymiarowy odpowiednik pojęcia krzywej. Powierzchnia jest także potocznym określeniem pola powierzchni.

Definicja formalna

Powierzchnia to continuum o wymiarze 2, tj. takie continuum, iż każdy jego punkt posiada pewne otoczenie, którego brzeg nie zawiera żadnego continuum o wymiarze 2 lub wyższym jednak zawiera continuum o wymiarze 1.

Powierzchnia może w szczególności rozgałęziać się.

Klasyfikacja powierzchni w topologii algebraicznej

Zwarte domknięte (bez brzegu) powierzchnie (czyli takie dla których otoczenie każdego punktu jest homeomorficzne z

R

2

{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}

) można podzielić na klasy równoważności zgodnie z relacją równoważności zadaną przez homeomorfizm. Twierdzenie o klasyfikacji powierzchni mówi wtedy że takich klas równoważności jest przeliczalnie wiele i każda z nich ma reprezentanta jednej z 3 postaci:

Sfrerę

S

2

{\displaystyle S^{2}}

Sumę spójną (wzdłuż

S

1

{\displaystyle S^{1}}

) g torusów dla

g

⩾

1

{\displaystyle g\geqslant 1}

Sumę spójną (wzdłuż

S

1

{\displaystyle S^{1}}

) k kopii

R

P

2

{\displaystyle \mathbb {R} P^{2}}

dla

n

⩾

1

{\displaystyle n\geqslant 1}

Pozwala to na klasyfikacje powierzchni na podstawie tylko dwóch informacji: genusu oraz czy przestrzeń jest orientowalna. Dodatkowo przestrzenie orientowalne maja nietrywialna najwyższą grupę homologii

H

2

(

Σ

g

)

=

Z

{\displaystyle H_{2}(\ Sigma _{g})=\mathbb {Z} }

a nieorientowalne nie

(

H

2

(

Γ

k

)

=

0

)

{\displaystyle (H_{2}(\Gamma _{k})=0)}

.

Przykłady powierzchni

helikoida

hiperboloida

płaszczyzna

powierzchnia stożkowa

powierzchnia wielościenna

rogata sfera Alexandera

sfera

torus

Bibliografia

Allen Hatcher: Algebraic topology.