Dirichlet-randvoorwaarde - een type randvoorwaarde, ook bekend als de eerste voorwaarde, gebruikt in de theorie van gewone of partiële differentiaalvergelijkingen. Het is gebaseerd op de aanname dat de functie die de oplossing is voor een bepaald probleem, specifieke, vooraf bepaalde waarden moet hebben aan de rand van het domein. De naam komt van de wiskundige P. Dirichlet (1805–1859). Als we een Dirichlet-randvoorwaarde (over de hele rand) instellen voor een differentiaalvergelijking (gewoon of gedeeltelijk), dan hebben we het over een Dirichlet-probleem (probleem). == Voorbeelden == === Gewone differentiaalvergelijkingen === Voor gewone differentiaalvergelijkingen van de 2e orde: y ″ = f (x, y, y ′), {\ displaystyle y '' = f (x, y, y '),} waar de onbekende functie y (x) {\ displaystyle y (x)} is gespecificeerd in het veld [a, b], {\ displaystyle [a, \, b],} (formeel: y ∈ C 2 ([a, b]) {\ Displaystyle y \ in C ^ {2} ([a, \, b])}), de Dirichlet-randvoorwaarde is y (a) = ya, y (b) = yb, {\ Displaystyle y ( a) = y_ {a}, \ y (b) = y_ {b},} waar ya {\ displaystyle y_ {a}} en yb {\ displaystyle y_ {b}} cijfers krijgen. === Gedeeltelijke differentiaalvergelijkingen === Een typisch voorbeeld is het Dirichlet-probleem voor de Laplace-vergelijking. Het gebied Ω ⊂ R n wordt gegeven. {\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}.} We zoeken een oplossing op: Ω ¯ → R, {\ displaystyle u: {\ bar {\ Omega}} \ to \ mathbb {R}, die is continu gesloten Ω ¯, {\ displaystyle {\ bar {\ Omega}},} klasse C 2 {\ displaystyle C ^ {2}} in Ω, {\ displaystyle \ Omega,} voldoet aan de vergelijking Δ u = 0, { \ displaystyle \ Delta u = 0,} waarbij Δ {\ displaystyle \ Delta} de Laplace-operator (laplsjan) en de randvoorwaarde u (x) = f (x) ∀ x ∈ ∂ Ω betekent, {\ displaystyle u (x) = f (x) \ quad \ forall x \ in \ gedeeltelijk \ Omega,} waarbij f {\ displaystyle f} een gegeven functie is die is gespecificeerd op de rand, f: ∂ Ω → R. {\ displaystyle f: \ partial \ Omega \ to \ mathbb {R}.} Meestal worden beide relaties (vergelijking en randvoorwaarde) op één plaats in standaard wiskundige notatie geschreven, waarbij vaak haakjes worden toegevoegd om te benadrukken dat aan beide relaties moet worden voldaan : {Δ u = 0 per Ω, u = fw ∂ Ω. {\ displaystyle {\ begin {cases} \ Delta...
