De gulden snede, sectio aurea of sectio divina, ook wel de verdeling in uiterste en middelste reden genaamd, is de verdeling van een lijnstuk in twee delen in een speciale verhouding. Bij de gulden snede verhoudt het grootste van de twee delen zich tot het kleinste, zoals het gehele lijnstuk zich verhoudt tot het grootste. Geven we het grootste deel aan met a en het kleinste deel met b, dan is de verhouding van beide zo dat
a
:
b
=
(
a
+
b
)
:
a
{\displaystyle a:b=(a+b):a}
.
De bedoelde verhouding a/b wordt het gulden getal genoemd en aangeduid met de Griekse letter
φ
{\displaystyle \varphi }
(phi); zoals hieronder aangetoond wordt, geldt:
φ
=
1
+
5
2
≈
1,618
{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1{,}618}
Het getal is dus irrationaal, maar niet transcendent.
Hoewel de wiskundige eigenschappen van de gulden snede al in de oudheid werden bestudeerd, dateert de term "gulden snede" pas uit de jaren 30 van de 19e eeuw.
Wiskunde
Euclides
Euclides heeft aangegeven hoe een lijnstuk verdeeld dient te worden om de gulden snede te verkrijgen. Die gulden snede bij het punt S in het lijnstuk AB is zo dat:
|
A
S
|
|
S
B
|
=
|
A
B
|
|
A
S
|
{\displaystyle {\frac {|AS|}{|SB|}}={\frac {|AB|}{|AS|}}}
.Voor de lengten a en b van de delen betekent dat:
a
b
=
a
+
b
a
{\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}}
De verhouding
a
b
{\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}
heet het gulden getal en wordt aangeduid met
φ
{\displaystyle \varphi }
.
Daarvoor geldt dus:
φ
=
1
+
1
φ
{\displaystyle \varphi =1+{\tfrac {1}{\varphi }}}
,wat leidt tot de vierkantsvergelijking
φ
2
=
φ
+
1
{\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1}
,
φ
2
−
φ
−
1
=
0
{\displaystyle \varphi ^{2}-\varphi -1=0}
,met de positieve oplossing
φ
=
1
+
5
2
=
1,618
03398874989
…
{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1{,}61803398874989\ldots }
Opmerking: behalve
φ
{\displaystyle \varphi }
heeft de vergelijking ook de negatieve oplossing
φ
−
=
−
1
φ
=
1
−
5
2
=
−
0,618
03398874989
…
{\displaystyle \varphi _{-}=-{\frac {1}{\varphi }}={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=-0{,}61803398874989\ldots }
.
Constructie met passer en liniaal
De eenvoudigste constructie van de gulden snede gaat als volgt (zie afbeelding):
Teken een rechthoekige driehoek ABC met de rechthoekszijden AB van lengte 1 en BC van lengte 2. De hypotenusa AC heeft dan de lengte
5
{\displaystyle {\sqrt {5}}}
.
