Gouden spiraal - een speciaal geval van een logaritmische spiraal waarin een coëfficiënt
b
{\ Displaystyle b}
is een constante afhankelijk van
φ
{\ displaystyle \ varphi}
(waar
φ
{\ displaystyle \ varphi}
is het "gouden getal"). Een kenmerkend kenmerk van de gouden spiraal is dat elke 90 ° de breedte exact toeneemt (of afneemt)
φ
{\ displaystyle \ varphi}
tijden.
Patroon
Algemene formules voor logaritmische spiraal in poolcoördinaten:
r
=
en
e
b
θ
{\ displaystyle r = ae ^ {b \ theta}}
en
θ
=
1
b
ln
(
r
/
en
)
.
{\ displaystyle \ theta = {\ frac {1} {b}} \ ln (r / a),}
(waar
e
{\ Displaystyle e}
- de basis van natuurlijke logaritmen) gelden ook voor de gouden spiraal. In dit geval
θ
{\ Displaystyle \ theta}
is een rechte hoek
b
{\ Displaystyle b}
is een echte constante, terwijl
r
/
en
=
φ
{\ displaystyle r / a = \ varphi}
(waar
φ
{\ displaystyle \ varphi}
is het "gouden getal"). Vandaar de formule:
e
b
θ
=
φ
.
{\ displaystyle e ^ {b \ theta} = \ varphi.}
waarde
b
{\ Displaystyle b}
wordt uitgedrukt door de formule:
b
=
ln
φ
θ
.
{\ displaystyle b = {\ frac {\ ln {\ varphi}} {\ theta}}.}
waarde
b
{\ Displaystyle b}
het kan positief of negatief zijn, afhankelijk van de richting waarin de rechte hoek is gericht
θ
.
{\ Displaystyle \ theta.}
Absolute waarde van
b
{\ Displaystyle b}
is:
|
b
|
=
ln
φ
90
∘
=
0,005
3468
1
∘
{\ displaystyle | b | = {\ frac {\ ln \ varphi} {90 ^ {\ circ}}} = {\ frac {0 {,} 0053468} {1 ^ {\ circ}}}}
voor
θ
{\ Displaystyle \ theta}
uitgedrukt in graden;
|
b
|
=
ln
φ
π
/
2
=
0.306
349
{\ displaystyle | b | = {\ frac {\ ln \ varphi} {\ pi / 2}} = 0 {,} 306349}
voor
θ
{\ Displaystyle \ theta}
uitgedrukt in radialen.
Geschatte gouden spiraal
Veel spiralen staan bekend als benaderingen van de gouden spiraal en worden er vaak mee verward. Een voorbeeld is de Fibonacci-spiraal, die geen logaritmische spiraal is.
