Equitation - online puzzels

Gelijkheid of meer formeel de gelijkheidssrelatie of identiteitsrelatie, is de binaire relatie op een verzameling X, die wordt gedefinieerd door

{

(

x

,

x

)

|

x

∈

X

}

{\displaystyle \{(x,x)\;|\;x\in X\}}

.De identiteitsrelatie is het eenvoudigste voorbeeld van een equivalentierelatie op een verzameling; dat wil zeggen die binaire relaties die zowel reflexief, symmetrisch als transitief zijn. De gelijkheidsrelatie is ook antisymmetrisch. Deze vier eigenschappen bepalen op unieke wijze de gelijkheidsrelatie op elke verzameling S en maken gelijkheid de enige relatie op S, die tegelijkertijd een equivalentierelatie en een partiële orde is. Hieruit volgt dat gelijkheid in die zin de kleinste equivalentierelatie op enige verzameling S is, dat het een deelverzameling van enig andere equivalentierelatie op S is.

Een vergelijking is gewoon een bewering dat twee uitdrukkingen aan elkaar gerelateerd zijn door hun gelijkheid.

Logische formuleringen

De gelijkheidsrelatie is altijd zodanig gedefinieerd dat de dingen die gelijk aan elkaar zijn allen dezelfde en enige eigenschappen hebben. Sommige mensen definiëren gelijkheid als congruentie. Vaak is gelijkheid slechts gedefinieerd als identiteit.

Een sterker gevoel voor wat gelijkheid is verkrijgt men als enige vorm van de wet van Leibniz als een axioma toegevoegd, de aanname van dit axioma sluit "kale bijzonderheden", die allen en alleen dezelfde eigenschappen eigen, maar die niet gelijk aan elkaar zijn, wat in sommige logische formalismen mogelijk is. Het axioma stelt dat twee zaken gelijk aan elkaar zijn als zij allen dezelfde en alleen dezelfde eigenschappen hebben.