Un'interpretazione più corretta viene fornita dalla meccanica del continuo: i corpi sono dotati di elasticità e l'intervallo di tempo durante il quale tali oggetti sono a contatto si compone di un periodo di compressione, nel quale si compie una deformazione spesso impercettibile, e di un periodo di ritorno elastico durante il quale la forma torna allo stato iniziale.
Viene inizialmente presa in considerazione la classe degli urti normali a due corpi, cioè quelli in cui la direzione del moto avviene lungo la normale comune per il punto di contatto sia prima che dopo l'urto in quanto moto unidimensionale, e successivamente si può estendere lo studio agli urti obliqui a n>2 corpi in d>1 dimensioni.
Per un urto normale la velocità relativa dei corpi dopo l'urto è proporzionale a quella precedente l'urto attraverso un coefficiente di ritorno legato alle elasticità dei due corpi:
v
1
f
−
v
2
f
=
−
ε
(
v
1
i
−
v
2
i
)
,
{\displaystyle v_{1f}-v_{2f}=-\varepsilon (v_{1i}-v_{2i}),}
0
≤
ε
≤
1
{\displaystyle 0\leq \varepsilon \leq 1}
Se
ε
=
0
{\displaystyle \varepsilon =0}
l'urto è detto totalmente anelastico;
se
ε
=
1
{\displaystyle \varepsilon =1}
l'urto è detto elastico;
L'applicazione del principio di conservazione:
d
d
t
P
=
0
;
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}P=0;}
dove:
P è la quantità di moto;
t è il tempoal caso di un urto tra due corpi a coefficiente di ritorno qualsiasi si ha:
m
1
v
1
i
+
m
2
v
2
i
=
m
1
v
1
f
+
m
2
v
2
f
{\displaystyle m_{1}v_{1i}+m_{2}v_{2i}=m_{1}v_{1f}+m_{2}v_{2f}\;}
dove:
m1 e m2 sono le masse dei corpi 1 e 2;
v1i e v2i sono le velocità dei corpi prima dell'urto;
v1f e v2f sono le velocità dei corpi dopo l'urto.La quantità di moto totale dopo l'urto è data dalla quantità di moto iniziale più l' impulso totale. Perciò le forze sono uguali e contrarie per i due corpi, e la loro somma vettoriale è nulla.
Dalle due equazioni precedenti si ricava che:
v
1
f
=
(
m
1
−
ε
m
2
)
v
1
i
+
m
2
(
1
+
ε
)
v
2
i
m
1
+
m
2
{\displaystyle v_{1f}={\frac {(m_{1}-\varepsilon m_{2})v_{1i}+m_{2}(1+\varepsilon )v_{2i}}{m_{1}+m_{2}}}\;}
v
2
f
=
(
m
2
−
ε
m
1
)
v
2
i
+
m
1
(
1
+
ε
)
v
1
i
m
1
+
m
2
{\displaystyle v_{2f}={\frac {(m_{2}-\varepsilon m_{1})v_{2i}+m_{1}(1+\varepsilon )v_{1i}}{m_{1}+m_{2}}}\;}
Che applicata al caso di urto totalmente anelastico si traduce in:
v
1
f
=
m
1
v
1
i
+
m
2
v
2
i
m
1
+
m
2
{\displaystyle v_{1f}={\frac {m_{1}v_{1i}+m_{2}v_{2i}}{m_{1}+m_{2}}}\;}
v
2
f
=
m
1
v
1
i
+
m
2
v
2
i
m
1
+
m
2
{\displaystyle v_{2f}={\frac {m_{1}v_{1i}+m_{2}v_{2i}}{m_{1}+m_{2}}}\;}
e quindi, :
v
1
f
=
v
2
f
{\displaystyle v_{1f}=v_{2f}\;}
in particolare se :
v
1
i
=
−
v
2
i
{\displaystyle v_{1i}=-v_{2i}}
, allora:
v
1
f
=
v
2
f
=
0
{\displaystyle v_{1f}=v_{2f}=0}
Applicata invece al caso di urto elastico si traduce in:
v
1
f
=
(
m
1
−
m
2
)
v
1
i
+
2
m
2
v
2
i
m
1
+
m
2
{\displaystyle v_{1f}={\frac {(m_{1}-m_{2})v_{1i}+2m_{2}v_{2i}}{m_{1}+m_{2}}}\;}
v
2
f
=
(
m
2
−
m
1
)
v
2
i
+
2
m
1
v
1
i
m
1
+
m
2
{\displaystyle v_{2f}={\frac {(m_{2}-m_{1})v_{2i}+2m_{1}v_{1i}}{m_{1}+m_{2}}}\;}
se poi :
v
1
i
=
−
v
2
i
∧
m
1
=
m
2
{\displaystyle v_{1i}=-v_{2i}\land m_{1}=m_{2}}
, allora:
v
1
f
=
−
v
2
f
=
v
2
i
{\displaystyle v_{1f}=-v_{2f}=v_{2i}}
Si capisce perciò meglio come ε sia un fattore legato all'elasticità dell'urto.
Dalle equazioni delle velocità :
J
2
=
m
1
v
1
f
−
m
1
v
1
i
=
(
1
+
ε
)
(
v
1
−
v
2
)
m
1
m
2
m
1
+
m
2
=
(
1
+
ε
)
a
1
t
m
1
m
2
m
1
+
m
2
;
;
{\displaystyle J_{2}=m_{1}v_{1f}-m_{1}v_{1i}=(1+\varepsilon )(v_{1}-v_{2}){\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}=(1+\varepsilon )a_{1}t{\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}};;}
dove:
a_1 è l'accelerazione impulsiva che riceve l'altro corpo (media, supposta costante durante l'urto);
t rappresenta la durata dell'urto;Si può verificare facilmente infatti che :
J
1
=
m
1
v
1
f
−
m
1
v
1
i
=
(
1
+
ε
)
(
v
2
−
v
1
)
m
1
m
2
m
1
+
m
2
=
−
J
2
;
{\displaystyle J_{1}=m_{1}v_{1f}-m_{1}v_{1i}=(1+\varepsilon )(v_{2}-v_{1}){\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}=-J_{2}\;;}
il principio di conservazione della quantità di moto che abbiamo imposto precedentemente.
Se si considera un sistema di bersaglio 2 molto più grande del proiettile 1,
d
J
=
(
1
+
ε
)
d
v
m
1
m
2
m
1
=
(
1
+
ε
)
m
2
d
v
;
{\displaystyle dJ=(1+\varepsilon )dv{\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}}}=(1+\varepsilon )m_{2}dv;}
ma allora:
F
=
d
J
d
t
=
(
1
+
ε
)
m
2
d
v
d
t
=
(
1
+
ε
)
m
2
a
21
;
{\displaystyle F={\frac {dJ}{dt}}=(1+\varepsilon )m_{2}{\frac {dv}{dt}}=(1+\varepsilon )m_{2}a_{21};}
dove
a
21
{\displaystyle a_{21}}
è l'accelerazione relativa: a parità di questa, la forza impulsiva è perciò massima e doppia per un urto elastico rispetto ad un urto perfettamente anelastico.
Affinché l' energia cinetica totale dei corpi rimanga invariata (e quindi le velocità dei due corpi dopo l'urto abbiano o direzione o verso o intensità diverse tra loro), si deve avere un urto elastico, e viceversa, come dimostra questa catena di doppie implicazioni:
T
f
=
m
1
v
1
f
2
2
+
m
2
v
2
f
2
2
=
1
2
m
1
(
(
m
1
−
m
2
)
v
1
i
+
2
m
2
v
2
i
m
1
+
m
2
)
2
+
1
2
m
2
(
(
m
2
−
m
1
)
v
2
i
+
2
m
1
v
1
i
m
1
+
m
2
)
2
=
{\displaystyle T_{f}={\frac {m_{1}v_{1f}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2f}^{2}}{2}}={\frac {1}{2}}{m_{1}}\left({\frac {(m_{1}-m_{2})v_{1i}+2m_{2}v_{2i}}{m_{1}+m_{2}}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}{m_{2}}\left({\frac {(m_{2}-m_{1})v_{2i}+2m_{1}v_{1i}}{m_{1}+m_{2}}}\right)^{2}=}
=
m
1
v
1
i
2
2
+
m
2
v
2
i
2
2
=
T
i
{\displaystyle ={\frac {m_{1}v_{1i}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2i}^{2}}{2}}=T_{i}\;}
Se l' energia cinetica dei corpi è stata parzialmente dissipata nell'urto, allora si parla genericamente di urto anelastico. In quest'ultimo caso, si può dimostrare analogamente che l' energia cinetica dissipata è la massima possibile (dovendo rispettare la conservazione della quantità di moto totale) nel caso di urto totalmente anelastico, poiché i due corpi procedono alla stessa velocità dopo l'urto.