La sezione aurea o rapporto aureo o numero aureo o costante di Fidia o proporzione divina, nell'ambito delle arti figurative e della matematica, denota il numero irrazionale 1,6180339887... ottenuto effettuando il rapporto fra due lunghezze disuguali delle quali la maggiore
a
{\displaystyle a}
è medio proporzionale tra la minore
b
{\displaystyle b}
e la somma delle due
(
a
+
b
)
{\displaystyle (a+b)}
:
a
+
b
a
=
a
b
=
def
φ
{\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \varphi }
Per la proprietà dello scomporre lo stesso rapporto esiste anche tra la lunghezza minore
b
{\displaystyle b}
e la loro differenza
(
a
−
b
)
{\displaystyle (a-b)}
:
a
b
=
b
a
−
b
{\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {b}{a-b}}}
Valgono pertanto le seguenti relazioni:
a
+
b
a
=
a
b
=
b
a
−
b
=
1
+
b
a
=
1
+
1
a
b
{\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}={\frac {b}{a-b}}=1+{\frac {b}{a}}=1+{\frac {1}{\frac {a}{b}}}}
Considerando solo il primo e l'ultimo membro e tenendo conto della definizione di
φ
{\displaystyle \varphi }
possiamo anche scrivere
φ
=
1
+
1
φ
{\displaystyle \varphi =1+{\frac {1}{\varphi }}}
(1)da cui discende l' equazione polinomiale a coefficienti interi
φ
2
−
φ
−
1
=
0
{\displaystyle \varphi ^{2}-\varphi -1=0}
(2)La soluzione positiva di tale equazione (unica ammissibile essendo
φ
{\displaystyle \varphi }
una quantità positiva per definizione ) porta alla determinazione del valore della sezione aurea dato da:
φ
=
1
+
5
2
≈
1,618
0339887
{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1{,}6180339887}
(3) La sezione aurea è quindi un numero irrazionale (ovvero non rappresentabile mediante rapporto di numeri interi data la presenza di
5
{\displaystyle {\sqrt {5}}}
nel numeratore della (3)) e algebrico (ovvero soluzione di un' equazione polinomiale a coefficienti interi come evidenziato dalla (2)). Può essere approssimata, con crescente precisione, effettuando il rapporto fra termini consecutivi
(
3
2
,
5
3
,
8
5
,
.
.
.
)
{\displaystyle ({\frac {3}{2}},{\frac {5}{3}},{\frac {8}{5}},...)}
della successione di Fibonacci a cui è strettamente connessa.
I due segmenti
a
{\displaystyle a}
e
b
{\displaystyle b}
possono essere ottenuti graficamente come illustrato nella figura a fianco. La base del rettangolo è pari a
(
1
2
a
+
5
2
a
)
{\displaystyle ({\frac {1}{2}}a+{\frac {\sqrt {5}}{2}}a)}
e la sua altezza è pari ad
a
{\displaystyle a}
: il loro rapporto in base alla (3) dà proprio la sezione aurea.
Se nella (1) si sostituisce iterativamente alla
φ
{\displaystyle \varphi }
a denominatore tutto il secondo membro anch'esso pari a
φ
{\displaystyle \varphi }
otteniamo la frazione continua :
φ
=
1
+
1
1
+
1
1
+
1
1
+
1
1
+
.
.
