Il quadrato è un caso particolare di rombo (in quanto ha tutti e quattro i lati congruenti) e di rettangolo (in quanto ha quattro angoli congruenti) quindi è un caso particolare di parallelogramma (in quanto ha i lati a due a due paralleli).
Le diagonali di un quadrato sono congruenti e perpendicolari, il loro punto di intersezione le divide a metà e misurano come il lato moltiplicato per la radice quadrata di 2:
diagonale
=
lato
⋅
2
{\displaystyle {\mbox{diagonale}}={\mbox{lato}}\cdot {\sqrt {2}}}
Questa formula si dimostra con il teorema di Pitagora. Ciascuna diagonale, infatti, divide il quadrato in due triangoli rettangoli per i quali vale che la somma dei quadrati costruiti sui cateti è equivalente al quadrato costruito sull'ipotenusa (che è la diagonale).
A
C
=
A
D
2
+
C
D
2
=
l
2
+
l
2
=
2
⋅
l
2
=
l
⋅
2
{\displaystyle AC={\sqrt {AD^{2}+CD^{2}}}={\sqrt {l^{2}+l^{2}}}={\sqrt {2\cdot l^{2}}}=l\cdot {\sqrt {2}}}
.Il perimetro di un quadrato, visto che ha tutti i lati congruenti, misura:
lato
⋅
4
{\displaystyle {\mbox{lato}}\cdot 4}
L'area di un quadrato, visto che l'altezza e la base sono congruenti, misura:
lato
2
{\displaystyle {\mbox{lato}}^{2}}
ma si può calcolare anche come
diagonale
2
2
{\displaystyle {\frac {{\mbox{diagonale}}^{2}}{2}}}
per il teorema di Pitagora.Da ciò si deduce che la diagonale di un quadrato di area a è il lato del quadrato con Area 2a.
Il quadrato possiede 4 assi di simmetria : 2 passanti per una coppia di vertici opposti e 2 passanti per una coppia di punti medi dei lati.
Il punto di intersezione delle due diagonali è detto centro del quadrato ed è centro di simmetria di rotazione e di simmetria centrale per il quadrato. L'ordine della simmetria di rotazione del quadrato è 4; in altre parole, il quadrato è invariante per le rotazioni intorno al suo centro relative agli angoli
k
π
2
rad
=
k
90
∘
per
k
=
0
,
1
,
2
,
3
{\displaystyle k{\frac {\pi }{2}}{\mbox{rad}}=k90^{\circ }{\mbox{ per }}k=0,1,2,3}
; naturalmente la rotazione di
π
{\displaystyle \,\pi }
radianti è la simmetria centrale.
Il quadrato
Q
{\displaystyle Q}
di lato 2 e centro l'origine può essere descritto in vari modi. Ad esempio:
Q
=
{
(
x
,
y
)
|
|
x
|
≤
1
,
|
y
|
≤
1
}
.
